Номер 3.16, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.16, страница 24.

3.16. Решите уравнение:

a) $4(x^2 - x)^2 + 9x^2 = 9x - 2;$

б) $(2x^2 - x + 1)^2 - 4x^2 = 1 - 2x.$

а) $4(x^2 - x)^2 + 9x^2 = 9x - 2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$4(x^2 - x)^2 + 9x^2 - 9x + 2 = 0$

Сгруппируем члены, чтобы выделить повторяющееся выражение $x^2 - x$. Для этого вынесем 9 за скобки:

$4(x^2 - x)^2 + 9(x^2 - x) + 2 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - x$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$4t^2 + 9t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 = 7^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 - 7}{8} = \frac{-16}{8} = -2$

$t_2 = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 + 7}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. При $t = -2$:

$x^2 - x = -2$

$x^2 - x + 2 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D_x = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$

Так как $D_x < 0$, действительных корней в этом случае нет.

2. При $t = -1/4$:

$x^2 - x = -\frac{1}{4}$

$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$

Отсюда следует:

$x - \frac{1}{2} = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Таким образом, у исходного уравнения есть единственный корень.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $(2x^2 - x + 1)^2 - 4x^2 = 1 - 2x$

Перенесем члены с $x$ из правой части в левую, а свободные члены в правую, чтобы выявить структуру для замены:

$(2x^2 - x + 1)^2 = 4x^2 - 2x + 1$

Заметим, что выражение в правой части можно связать с выражением в скобках в левой части. Вынесем 2 за скобки в правой части:

$(2x^2 - x + 1)^2 = 2(2x^2 - x) + 1$

Введем замену переменной. Пусть $y = 2x^2 - x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(y + 1)^2 = 2y + 1$

Раскроем скобки в левой части:

$y^2 + 2y + 1 = 2y + 1$

Вычтем $2y + 1$ из обеих частей уравнения:

$y^2 = 0$

Отсюда получаем, что $y = 0$.

Теперь выполним обратную замену:

$y = 2x^2 - x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение. Вынесем $x$ за скобки:

$x(2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два корня:

1. $x_1 = 0$

2. $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{2}$

Ответ: $0; \frac{1}{2}$