Номер 3.10, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.10, страница 23.

3.10. Найдите значение выражения $x^3 + \frac{1}{x^3}$, если:

а) $x + \frac{1}{x} = -3;$

б) $x + \frac{1}{x} = t.$

Для решения данной задачи воспользуемся формулой суммы кубов, которая выглядит так: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Однако, удобнее будет использовать формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Применим формулу куба суммы к выражению $x + \frac{1}{x}$. Пусть $a = x$ и $b = \frac{1}{x}$. Тогда:

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x \cdot (\frac{1}{x})^2 + (\frac{1}{x})^3$

Упростим правую часть равенства:

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3}$

Сгруппируем слагаемые:

$(x + \frac{1}{x})^3 = (x^3 + \frac{1}{x^3}) + (3x + \frac{3}{x})$

Вынесем общий множитель 3 за скобки во второй группе:

$(x + \frac{1}{x})^3 = (x^3 + \frac{1}{x^3}) + 3(x + \frac{1}{x})$

Из этого равенства выразим искомое выражение $x^3 + \frac{1}{x^3}$:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$

Теперь мы можем использовать эту формулу для решения обоих подпунктов.

а)

По условию нам дано, что $x + \frac{1}{x} = -3$.

Подставим это значение в выведенную нами формулу:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (-3)^3 - 3(-3)$

Выполним вычисления:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = -27 - (-9) = -27 + 9 = -18$

Ответ: -18

б)

По условию нам дано, что $x + \frac{1}{x} = t$.

Подставим это значение в выведенную нами формулу:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (t)^3 - 3(t)$

Упростим выражение:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = t^3 - 3t$

Ответ: $t^3 - 3t$