Номер 3.6, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.6, страница 23.

Решите уравнение:

3.6. a) $x^4 - 3x^2 + 2 = 0;$

б) $x^4 - 9x^2 - 10 = 0;$

В) $x^4 - 7x^2 + 3 = 0;$

Г) $x^4 - 12,3x^2 + 45 = 0.$

а) $x^4 - 3x^2 + 2 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.

Подставим $y$ в исходное уравнение:

$y^2 - 3y + 2 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Легко подобрать корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = 2$

Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Для этого решим два уравнения:

1) $x^2 = y_1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 1$

2) $x^2 = y_2 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x_{3,4} = \pm \sqrt{2}$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $x = \pm 1; x = \pm \sqrt{2}$.

б) $x^4 - 9x^2 - 10 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$y^2 - 9y - 10 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта. Здесь $a=1, b=-9, c=-10$.

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 = 11^2$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.

$y_1 = 10$ - подходит, так как $10 > 0$.

$y_2 = -1$ - не подходит, так как $-1 < 0$. Этот корень является посторонним.

Возвращаемся к замене, используя только подходящий корень $y=10$:

$x^2 = 10 \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{10}$

Ответ: $x = \pm \sqrt{10}$.

в) $x^4 - 7x^2 + 3 = 0$

Сделаем замену $y = x^2$, при условии $y \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - 7y + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 49 - 12 = 37$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$y_1 = \frac{7 + \sqrt{37}}{2}$

$y_2 = \frac{7 - \sqrt{37}}{2}$

Проверим оба корня на условие $y \ge 0$.

$y_1 = \frac{7 + \sqrt{37}}{2}$ - очевидно, что этот корень положительный.

Для $y_2 = \frac{7 - \sqrt{37}}{2}$, сравним 7 и $\sqrt{37}$. Так как $7^2 = 49$, а $(\sqrt{37})^2 = 37$, то $49 > 37$, следовательно $7 > \sqrt{37}$. Значит, $7 - \sqrt{37} > 0$, и корень $y_2$ также является положительным. Оба корня подходят.

Выполним обратную замену:

1) $x^2 = y_1 = \frac{7 + \sqrt{37}}{2} \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{7 + \sqrt{37}}{2}}$

2) $x^2 = y_2 = \frac{7 - \sqrt{37}}{2} \Rightarrow x_{3,4} = \pm \sqrt{\frac{7 - \sqrt{37}}{2}}$

Ответ: $x = \pm \sqrt{\frac{7 + \sqrt{37}}{2}}; x = \pm \sqrt{\frac{7 - \sqrt{37}}{2}}$.

г) $x^4 - 12.3x^2 + 45 = 0$

Применим замену переменной $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$y^2 - 12.3y + 45 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-12.3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 151.29 - 180 = -28.71$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $y^2 - 12.3y + 45 = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное биквадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.