Номер 2.32, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.32, страница 22.

2.32. Докажите, что многочлен принимает положительные значения при любых действительных значениях переменных:

а) $3x^2 - 11xy + 47y^2 + 2;$

б) $(2x + 3y + 5)^2 + (x + 2y + 3)^2 + (3x - 7y + 1)^4;$

в) $3x^2 - 2xy + y^2 - 6x - 2y + 11;$

г) $x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx + 3.$

а) Чтобы доказать, что многочлен $3x^2 - 11xy + 47y^2 + 2$ принимает положительные значения, преобразуем его, выделив полный квадрат. Рассмотрим выражение как квадратный трехчлен относительно переменной $x$:

$3x^2 - 11xy + 47y^2 + 2 = 3(x^2 - \frac{11}{3}xy) + 47y^2 + 2$

Для выделения полного квадрата в скобках добавим и вычтем $(\frac{11y}{6})^2$:

$3\left(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{11y}{6} + \left(\frac{11y}{6}\right)^2 - \left(\frac{11y}{6}\right)^2\right) + 47y^2 + 2 = 3\left(\left(x - \frac{11y}{6}\right)^2 - \frac{121y^2}{36}\right) + 47y^2 + 2$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $y^2$:

$3\left(x - \frac{11y}{6}\right)^2 - 3 \cdot \frac{121y^2}{36} + 47y^2 + 2 = 3\left(x - \frac{11y}{6}\right)^2 - \frac{121y^2}{12} + \frac{564y^2}{12} + 2$

$= 3\left(x - \frac{11y}{6}\right)^2 + \frac{443y^2}{12} + 2$

Полученное выражение является суммой трех слагаемых:

1. $3\left(x - \frac{11y}{6}\right)^2 \ge 0$, так как это квадрат действительного числа, умноженный на положительное число 3.

2. $\frac{443y^2}{12} \ge 0$, так как это квадрат действительного числа, умноженный на положительное число $\frac{443}{12}$.

3. $2 > 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых и одного положительного слагаемого всегда положительна. Минимальное значение выражения достигается при $x=0, y=0$ и равно 2.

Следовательно, $3\left(x - \frac{11y}{6}\right)^2 + \frac{443y^2}{12} + 2 \ge 0 + 0 + 2 = 2 > 0$.

Таким образом, многочлен принимает положительные значения при любых действительных значениях переменных.

Ответ: Доказано.

б) Рассмотрим многочлен $(2x + 3y + 5)^2 + (x + 2y + 3)^2 + (3x - 7y + 1)^4$.

Он состоит из суммы трех слагаемых:

1. $(2x + 3y + 5)^2$ — квадрат действительного числа, следовательно, $(2x + 3y + 5)^2 \ge 0$.

2. $(x + 2y + 3)^2$ — квадрат действительного числа, следовательно, $(x + 2y + 3)^2 \ge 0$.

3. $(3x - 7y + 1)^4$ — четвертая степень действительного числа, которая также всегда неотрицательна, $(3x - 7y + 1)^4 \ge 0$.

Сумма неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна. Чтобы доказать, что значение многочлена строго положительное, нужно показать, что все три слагаемых не могут одновременно равняться нулю.

Равенство нулю возможно только в том случае, если:

$\begin{cases} 2x + 3y + 5 = 0 \\ x + 2y + 3 = 0 \\ 3x - 7y + 1 = 0 \end{cases}$

Решим систему из первых двух уравнений. Из второго уравнения выразим $x$: $x = -2y - 3$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2(-2y - 3) + 3y + 5 = 0$

$-4y - 6 + 3y + 5 = 0$

$-y - 1 = 0 \implies y = -1$

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = -2(-1) - 3 = 2 - 3 = -1$

Таким образом, первые два слагаемых обращаются в ноль при $x = -1$ и $y = -1$.

Проверим, обращается ли третье слагаемое в ноль при этих значениях:

$3x - 7y + 1 = 3(-1) - 7(-1) + 1 = -3 + 7 + 1 = 5 \ne 0$.

Поскольку не существует таких значений $x$ и $y$, при которых все три слагаемых одновременно равны нулю, их сумма всегда будет строго больше нуля.

Ответ: Доказано.

в) Преобразуем многочлен $3x^2 - 2xy + y^2 - 6x - 2y + 11$, сгруппировав слагаемые и выделив полные квадраты.

Сгруппируем слагаемые, содержащие $y$, и выделим полный квадрат относительно $y$:

$(y^2 - 2xy - 2y) + 3x^2 - 6x + 11 = (y^2 - 2y(x+1)) + 3x^2 - 6x + 11$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата $(y - (x+1))^2$:

$[y^2 - 2y(x+1) + (x+1)^2] - (x+1)^2 + 3x^2 - 6x + 11$

$= (y - x - 1)^2 - (x^2 + 2x + 1) + 3x^2 - 6x + 11$

Приведем подобные слагаемые:

$(y - x - 1)^2 + (3x^2 - x^2) + (-6x - 2x) + (11 - 1) = (y - x - 1)^2 + 2x^2 - 8x + 10$

Теперь выделим полный квадрат в выражении $2x^2 - 8x + 10$:

$2(x^2 - 4x) + 10 = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 10 = 2((x-2)^2 - 4) + 10 = 2(x-2)^2 - 8 + 10 = 2(x-2)^2 + 2$

Таким образом, исходный многочлен равен:

$(y - x - 1)^2 + 2(x-2)^2 + 2$

Это выражение является суммой трех слагаемых:

1. $(y - x - 1)^2 \ge 0$

2. $2(x-2)^2 \ge 0$

3. $2 > 0$

Сумма двух неотрицательных и одного положительного слагаемого всегда положительна. Минимальное значение равно 2, которое достигается при $x=2$ и $y=x+1=3$.

Следовательно, $(y - x - 1)^2 + 2(x-2)^2 + 2 \ge 0 + 0 + 2 = 2 > 0$.

Ответ: Доказано.

г) Рассмотрим многочлен $x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx + 3$.

Заметим, что первые шесть слагаемых представляют собой формулу квадрата суммы трех чисел:

$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx = (x+y+z)^2$

Таким образом, исходный многочлен можно переписать в виде:

$(x+y+z)^2 + 3$

Это выражение состоит из двух слагаемых:

1. $(x+y+z)^2$ — квадрат действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(x+y+z)^2 \ge 0$.

2. $3$ — положительное число.

Сумма неотрицательного числа и положительного числа всегда положительна.

$(x+y+z)^2 + 3 \ge 0 + 3 = 3 > 0$.

Таким образом, многочлен принимает положительные значения при любых действительных $x, y, z$.

Ответ: Доказано.