Номер 3.3, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.3, страница 22.

3.3. a) $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0;$

б) $x^8 + 11x^5 - 32x^3 - 352 = 0;$

в) $5x^3 - 15x^2 - x + 3 = 0;$

г) $x^3 - 2x^2 + x = (x^2 - 2x + 1)^2.$

а) Решим уравнение $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$ методом группировки.
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: $(x^3 - 3x^2) - (x - 3) = 0$.
Вынесем общий множитель $x^2$ из первой скобки: $x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0$.
Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки: $(x - 3)(x^2 - 1) = 0$.
Разложим второй множитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $(x - 3)(x - 1)(x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x - 3 = 0 \implies x = 3$.
$x - 1 = 0 \implies x = 1$.
$x + 1 = 0 \implies x = -1$.
Ответ: $-1; 1; 3$.

б) Решим уравнение $x^8 + 11x^5 - 32x^3 - 352 = 0$ методом группировки.
Сгруппируем слагаемые: $(x^8 + 11x^5) - (32x^3 + 352) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x^5(x^3 + 11) - 32(x^3 + 11) = 0$.
Вынесем общий множитель $(x^3 + 11)$ за скобки: $(x^3 + 11)(x^5 - 32) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $x^3 + 11 = 0 \implies x^3 = -11 \implies x = \sqrt[3]{-11} \implies x = -\sqrt[3]{11}$.
2) $x^5 - 32 = 0 \implies x^5 = 32 \implies x = \sqrt[5]{32} \implies x = 2$.
Ответ: $-\sqrt[3]{11}; 2$.

в) Решим уравнение $5x^3 - 15x^2 - x + 3 = 0$ методом группировки.
Сгруппируем слагаемые: $(5x^3 - 15x^2) - (x - 3) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $5x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0$.
Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки: $(x - 3)(5x^2 - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
2) $5x^2 - 1 = 0 \implies 5x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{5} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $3; -\frac{\sqrt{5}}{5}; \frac{\sqrt{5}}{5}$.

г) Решим уравнение $x^3 - 2x^2 + x = (x^2 - 2x + 1)^2$.
Преобразуем левую часть уравнения. Вынесем $x$ за скобки: $x(x^2 - 2x + 1) = (x^2 - 2x + 1)^2$.
Заметим, что выражение в скобках $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом разности: $(x-1)^2$.
Уравнение принимает вид: $x(x-1)^2 = ((x-1)^2)^2$.
$x(x-1)^2 = (x-1)^4$.
Перенесем все члены в одну сторону: $(x-1)^4 - x(x-1)^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $(x-1)^2$ за скобки: $(x-1)^2 ((x-1)^2 - x) = 0$.
Раскроем скобки внутри квадратных скобок: $(x-1)^2 (x^2 - 2x + 1 - x) = 0$.
$(x-1)^2 (x^2 - 3x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $(x-1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.
2) $x^2 - 3x + 1 = 0$. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Таким образом, получаем еще два корня: $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ и $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $1; \frac{3 - \sqrt{5}}{2}; \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.