Страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

2.29. Найдите наименьшее значение выражения:

а) $x^2 + 4y^2 - 4xy + 3$;

б) $x^2 + 4xy + 5y^2 + 2y + 7$.

Для нахождения наименьшего значения выражения преобразуем его, выделив полные квадраты. Полный квадрат — это выражение вида $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$, которое всегда неотрицательно, то есть его наименьшее значение равно 0.

а) $x^2 + 4y^2 - 4xy + 3$

Сгруппируем члены, содержащие переменные $x$ и $y$, чтобы выделить полный квадрат.
$x^2 - 4xy + 4y^2 + 3$
Выражение $x^2 - 4xy + 4y^2$ является полным квадратом разности $(x - 2y)^2$, так как $x^2 - 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x - 2y)^2$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:
$(x - 2y)^2 + 3$
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(x - 2y)^2 \ge 0$.
Наименьшее значение слагаемого $(x - 2y)^2$ равно 0 (оно достигается, например, при $x=2$ и $y=1$, или при $x=0$ и $y=0$).
Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $0 + 3 = 3$.

Ответ: 3

б) $x^2 + 4xy + 5y^2 + 2y + 7$

Выделим полный квадрат, сгруппировав члены с переменной $x$.
$(x^2 + 4xy) + 5y^2 + 2y + 7$
Чтобы $x^2 + 4xy$ стало частью полного квадрата $(x+a)^2 = x^2+2ax+a^2$, нам нужно, чтобы $2ax = 4xy$, откуда $a=2y$. Тогда $a^2 = (2y)^2 = 4y^2$. Добавим и вычтем $4y^2$:
$(x^2 + 4xy + 4y^2) - 4y^2 + 5y^2 + 2y + 7$
Теперь выражение в скобках является полным квадратом:
$(x + 2y)^2 + y^2 + 2y + 7$
Теперь выделим полный квадрат для членов с переменной $y$:
$(x + 2y)^2 + (y^2 + 2y) + 7$
Для $y^2+2y$ полный квадрат — это $(y+1)^2=y^2+2y+1$. Добавим и вычтем 1:
$(x + 2y)^2 + (y^2 + 2y + 1) - 1 + 7$
Упростим выражение:
$(x + 2y)^2 + (y + 1)^2 + 6$
Выражение представляет собой сумму двух квадратов и числа 6. Квадраты любых действительных чисел неотрицательны:
$(x + 2y)^2 \ge 0$
$(y + 1)^2 \ge 0$
Наименьшее значение выражения достигается, когда оба квадрата равны нулю.
$(y + 1)^2 = 0 \implies y = -1$
$(x + 2y)^2 = 0 \implies x + 2(-1) = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно $0 + 0 + 6 = 6$.

Ответ: 6

2.30. Найдите наибольшее значение выражения:

a) $-x^2 - 40y^2 + 10xy + 3;$

б) $-x^2 - 4xy - 10y^2 + 14y + 12.$

а)

Чтобы найти наибольшее значение выражения, преобразуем его, выделив полные квадраты.

Исходное выражение: $-x^2 - 40y^2 + 10xy + 3$.

Сгруппируем слагаемые относительно $x$ и вынесем минус за скобки:

$-(x^2 - 10xy) - 40y^2 + 3$

Выделим полный квадрат в скобках. Для этого добавим и вычтем $( \frac{10y}{2} )^2 = (5y)^2 = 25y^2$:

$-(x^2 - 10xy + 25y^2 - 25y^2) - 40y^2 + 3$

Теперь свернем полный квадрат и раскроем внешние скобки:

$-((x - 5y)^2 - 25y^2) - 40y^2 + 3 = -(x - 5y)^2 + 25y^2 - 40y^2 + 3$

Приведем подобные слагаемые:

$-(x - 5y)^2 - 15y^2 + 3$

Выражение состоит из константы $3$ и двух слагаемых: $-(x - 5y)^2$ и $-15y^2$. Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, оба этих слагаемых всегда меньше либо равны нулю.

$-(x - 5y)^2 \le 0$

$-15y^2 \le 0$

Следовательно, наибольшее значение выражения достигается, когда оба этих слагаемых равны нулю. Это происходит, когда:

$y = 0$

$x - 5y = 0 \implies x = 5 \cdot 0 = 0$

Таким образом, наибольшее значение достигается при $x=0, y=0$ и равно $3$.

Ответ: $3$

б)

Аналогично предыдущему пункту, найдем наибольшее значение выражения $-x^2 - 4xy - 10y^2 + 14y + 12$ методом выделения полного квадрата.

Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и выделим полный квадрат по этой переменной:

$-(x^2 + 4xy) - 10y^2 + 14y + 12 = -(x^2 + 4xy + 4y^2 - 4y^2) - 10y^2 + 14y + 12$

Свернем квадрат и упростим выражение:

$-((x + 2y)^2 - 4y^2) - 10y^2 + 14y + 12 = -(x + 2y)^2 + 4y^2 - 10y^2 + 14y + 12$

$= -(x + 2y)^2 - 6y^2 + 14y + 12$

Теперь выделим полный квадрат для слагаемых, содержащих $y$:

$-(x + 2y)^2 - (6y^2 - 14y) + 12 = -(x + 2y)^2 - 6(y^2 - \frac{14}{6}y) + 12$

$= -(x + 2y)^2 - 6(y^2 - \frac{7}{3}y) + 12$

Добавим и вычтем в скобках $(\frac{7/3}{2})^2 = (\frac{7}{6})^2 = \frac{49}{36}$:

$-(x + 2y)^2 - 6(y^2 - \frac{7}{3}y + \frac{49}{36} - \frac{49}{36}) + 12$

Свернем квадрат и упростим:

$-(x + 2y)^2 - 6((y - \frac{7}{6})^2 - \frac{49}{36}) + 12 = -(x + 2y)^2 - 6(y - \frac{7}{6})^2 + 6 \cdot \frac{49}{36} + 12$

$= -(x + 2y)^2 - 6(y - \frac{7}{6})^2 + \frac{49}{6} + 12$

Приведем константы к общему знаменателю:

$-(x + 2y)^2 - 6(y - \frac{7}{6})^2 + \frac{49}{6} + \frac{72}{6} = -(x + 2y)^2 - 6(y - \frac{7}{6})^2 + \frac{121}{6}$

Слагаемые $-(x + 2y)^2$ и $-6(y - \frac{7}{6})^2$ неположительны. Наибольшее значение выражения достигается, когда они оба равны нулю.

$y - \frac{7}{6} = 0 \implies y = \frac{7}{6}$

$x + 2y = 0 \implies x = -2y = -2 \cdot \frac{7}{6} = -\frac{7}{3}$

Наибольшее значение выражения равно константе $\frac{121}{6}$.

Ответ: $\frac{121}{6}$

2.31. Найдите наименьшее значение выражения $f(x; y)$ при заданном дополнительном условии:

a) $f(x; y) = x^2 + 4y^2 - 4xy + 3x - y + 6$, $x + y = 1$;

б) $f(x; y) = 2x^2 + y^2 - 4xy + 3x - y + 6$, $x - 2y = 4$.

а)

Задано выражение $f(x; y) = x^2 + 4y^2 - 4xy + 3x - y + 6$ и дополнительное условие $x + y = 1$.

Первым шагом преобразуем квадратичную часть выражения $f(x; y)$. Заметим, что $x^2 - 4xy + 4y^2$ является полным квадратом разности: $x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2$.

Таким образом, функцию можно переписать в виде: $f(x; y) = (x - 2y)^2 + 3x - y + 6$.

Из дополнительного условия $x + y = 1$ выразим одну переменную через другую, например, $y = 1 - x$.

Подставим это выражение для $y$ в преобразованную функцию $f(x; y)$, чтобы получить функцию одной переменной $x$:

$g(x) = f(x, 1-x) = (x - 2(1 - x))^2 + 3x - (1 - x) + 6$

Упростим полученное выражение:

$g(x) = (x - 2 + 2x)^2 + 3x - 1 + x + 6$

$g(x) = (3x - 2)^2 + 4x + 5$

$g(x) = (9x^2 - 12x + 4) + 4x + 5$

$g(x) = 9x^2 - 8x + 9$

Полученная функция $g(x)$ является квадратичной параболой с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $9 > 0$). Следовательно, она имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координата $x$ вершины параболы $ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -b / (2a)$.

Для нашей функции $a = 9$, $b = -8$, поэтому:

$x_0 = -(-8) / (2 \cdot 9) = 8 / 18 = 4/9$.

Теперь найдем наименьшее значение функции, подставив $x_0 = 4/9$ в выражение для $g(x)$:

$g_{min} = 9(4/9)^2 - 8(4/9) + 9 = 9(16/81) - 32/9 + 9 = 16/9 - 32/9 + 81/9 = (16 - 32 + 81) / 9 = 65/9$.

Ответ: $65/9$

б)

Задано выражение $f(x; y) = 2x^2 + y^2 - 4xy + 3x - y + 6$ и дополнительное условие $x - 2y = 4$.

В данном случае удобнее всего использовать метод подстановки. Из дополнительного условия $x - 2y = 4$ выразим $x$ через $y$:

$x = 4 + 2y$

Подставим это выражение для $x$ в функцию $f(x; y)$, чтобы получить функцию одной переменной $y$:

$g(y) = f(4+2y, y) = 2(4 + 2y)^2 + y^2 - 4(4 + 2y)y + 3(4 + 2y) - y + 6$

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

$g(y) = 2(16 + 16y + 4y^2) + y^2 - (16y + 8y^2) + (12 + 6y) - y + 6$

$g(y) = 32 + 32y + 8y^2 + y^2 - 16y - 8y^2 + 12 + 6y - y + 6$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$g(y) = (8y^2 + y^2 - 8y^2) + (32y - 16y + 6y - y) + (32 + 12 + 6)$

$g(y) = y^2 + 21y + 50$

Полученная функция $g(y)$ является квадратичной параболой с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $y^2$ равен $1 > 0$). Ее наименьшее значение достигается в вершине.

Координата $y$ вершины параболы $ay^2 + by + c$ находится по формуле $y_0 = -b / (2a)$.

Для нашей функции $a = 1$, $b = 21$, поэтому:

$y_0 = -21 / (2 \cdot 1) = -21/2$.

Найдем наименьшее значение функции, подставив $y_0 = -21/2$ в выражение для $g(y)$:

$g_{min} = (-21/2)^2 + 21(-21/2) + 50 = 441/4 - 441/2 + 50 = 441/4 - 882/4 + 200/4 = (441 - 882 + 200) / 4 = -241/4$.

Ответ: $-241/4$

2.32. Докажите, что многочлен принимает положительные значения при любых действительных значениях переменных:

а) $3x^2 - 11xy + 47y^2 + 2;$

б) $(2x + 3y + 5)^2 + (x + 2y + 3)^2 + (3x - 7y + 1)^4;$

в) $3x^2 - 2xy + y^2 - 6x - 2y + 11;$

г) $x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx + 3.$

а) Чтобы доказать, что многочлен $3x^2 - 11xy + 47y^2 + 2$ принимает положительные значения, преобразуем его, выделив полный квадрат. Рассмотрим выражение как квадратный трехчлен относительно переменной $x$:

$3x^2 - 11xy + 47y^2 + 2 = 3(x^2 - \frac{11}{3}xy) + 47y^2 + 2$

Для выделения полного квадрата в скобках добавим и вычтем $(\frac{11y}{6})^2$:

$3\left(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{11y}{6} + \left(\frac{11y}{6}\right)^2 - \left(\frac{11y}{6}\right)^2\right) + 47y^2 + 2 = 3\left(\left(x - \frac{11y}{6}\right)^2 - \frac{121y^2}{36}\right) + 47y^2 + 2$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $y^2$:

$3\left(x - \frac{11y}{6}\right)^2 - 3 \cdot \frac{121y^2}{36} + 47y^2 + 2 = 3\left(x - \frac{11y}{6}\right)^2 - \frac{121y^2}{12} + \frac{564y^2}{12} + 2$

$= 3\left(x - \frac{11y}{6}\right)^2 + \frac{443y^2}{12} + 2$

Полученное выражение является суммой трех слагаемых:

1. $3\left(x - \frac{11y}{6}\right)^2 \ge 0$, так как это квадрат действительного числа, умноженный на положительное число 3.

2. $\frac{443y^2}{12} \ge 0$, так как это квадрат действительного числа, умноженный на положительное число $\frac{443}{12}$.

3. $2 > 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых и одного положительного слагаемого всегда положительна. Минимальное значение выражения достигается при $x=0, y=0$ и равно 2.

Следовательно, $3\left(x - \frac{11y}{6}\right)^2 + \frac{443y^2}{12} + 2 \ge 0 + 0 + 2 = 2 > 0$.

Таким образом, многочлен принимает положительные значения при любых действительных значениях переменных.

Ответ: Доказано.

б) Рассмотрим многочлен $(2x + 3y + 5)^2 + (x + 2y + 3)^2 + (3x - 7y + 1)^4$.

Он состоит из суммы трех слагаемых:

1. $(2x + 3y + 5)^2$ — квадрат действительного числа, следовательно, $(2x + 3y + 5)^2 \ge 0$.

2. $(x + 2y + 3)^2$ — квадрат действительного числа, следовательно, $(x + 2y + 3)^2 \ge 0$.

3. $(3x - 7y + 1)^4$ — четвертая степень действительного числа, которая также всегда неотрицательна, $(3x - 7y + 1)^4 \ge 0$.

Сумма неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна. Чтобы доказать, что значение многочлена строго положительное, нужно показать, что все три слагаемых не могут одновременно равняться нулю.

Равенство нулю возможно только в том случае, если:

$\begin{cases} 2x + 3y + 5 = 0 \\ x + 2y + 3 = 0 \\ 3x - 7y + 1 = 0 \end{cases}$

Решим систему из первых двух уравнений. Из второго уравнения выразим $x$: $x = -2y - 3$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2(-2y - 3) + 3y + 5 = 0$

$-4y - 6 + 3y + 5 = 0$

$-y - 1 = 0 \implies y = -1$

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = -2(-1) - 3 = 2 - 3 = -1$

Таким образом, первые два слагаемых обращаются в ноль при $x = -1$ и $y = -1$.

Проверим, обращается ли третье слагаемое в ноль при этих значениях:

$3x - 7y + 1 = 3(-1) - 7(-1) + 1 = -3 + 7 + 1 = 5 \ne 0$.

Поскольку не существует таких значений $x$ и $y$, при которых все три слагаемых одновременно равны нулю, их сумма всегда будет строго больше нуля.

Ответ: Доказано.

в) Преобразуем многочлен $3x^2 - 2xy + y^2 - 6x - 2y + 11$, сгруппировав слагаемые и выделив полные квадраты.

Сгруппируем слагаемые, содержащие $y$, и выделим полный квадрат относительно $y$:

$(y^2 - 2xy - 2y) + 3x^2 - 6x + 11 = (y^2 - 2y(x+1)) + 3x^2 - 6x + 11$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата $(y - (x+1))^2$:

$[y^2 - 2y(x+1) + (x+1)^2] - (x+1)^2 + 3x^2 - 6x + 11$

$= (y - x - 1)^2 - (x^2 + 2x + 1) + 3x^2 - 6x + 11$

Приведем подобные слагаемые:

$(y - x - 1)^2 + (3x^2 - x^2) + (-6x - 2x) + (11 - 1) = (y - x - 1)^2 + 2x^2 - 8x + 10$

Теперь выделим полный квадрат в выражении $2x^2 - 8x + 10$:

$2(x^2 - 4x) + 10 = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 10 = 2((x-2)^2 - 4) + 10 = 2(x-2)^2 - 8 + 10 = 2(x-2)^2 + 2$

Таким образом, исходный многочлен равен:

$(y - x - 1)^2 + 2(x-2)^2 + 2$

Это выражение является суммой трех слагаемых:

1. $(y - x - 1)^2 \ge 0$

2. $2(x-2)^2 \ge 0$

3. $2 > 0$

Сумма двух неотрицательных и одного положительного слагаемого всегда положительна. Минимальное значение равно 2, которое достигается при $x=2$ и $y=x+1=3$.

Следовательно, $(y - x - 1)^2 + 2(x-2)^2 + 2 \ge 0 + 0 + 2 = 2 > 0$.

Ответ: Доказано.

г) Рассмотрим многочлен $x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx + 3$.

Заметим, что первые шесть слагаемых представляют собой формулу квадрата суммы трех чисел:

$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx = (x+y+z)^2$

Таким образом, исходный многочлен можно переписать в виде:

$(x+y+z)^2 + 3$

Это выражение состоит из двух слагаемых:

1. $(x+y+z)^2$ — квадрат действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(x+y+z)^2 \ge 0$.

2. $3$ — положительное число.

Сумма неотрицательного числа и положительного числа всегда положительна.

$(x+y+z)^2 + 3 \ge 0 + 3 = 3 > 0$.

Таким образом, многочлен принимает положительные значения при любых действительных $x, y, z$.

Ответ: Доказано.

Решите уравнение:

3.1. a) $x^3 - 3x^2 - 4x = 0;$

б) $x^4 + 11x^3 - x^2 = 0;$

в) $3x^3 - 8x^2 + 14x = 0;$

г) $(2x - 3)^3 - (2x - 3)^2 = 12x - 18.$

а) $x^3 - 3x^2 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 3x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим второе уравнение, которое является квадратным. Для этого найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}$

$x_2 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_3 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: $-1; 0; 4$.

б) $x^4 + 11x^3 - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 + 11x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x^2 + 11x - 1 = 0$

Решим второе квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 121 + 4 = 125$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{125}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 \pm \sqrt{25 \cdot 5}}{2} = \frac{-11 \pm 5\sqrt{5}}{2}$

Таким образом, исходное уравнение имеет три различных корня.

Ответ: $0; \frac{-11 - 5\sqrt{5}}{2}; \frac{-11 + 5\sqrt{5}}{2}$.

в) $3x^3 - 8x^2 + 14x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x^2 - 8x + 14) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x_1 = 0$

2) $3x^2 - 8x + 14 = 0$

Решим второе квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 64 - 168 = -104$

Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $0$.

г) $(2x - 3)^3 - (2x - 3)^2 = 12x - 18$

Преобразуем правую часть уравнения, вынеся общий множитель 6 за скобки: $12x - 18 = 6(2x - 3)$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$(2x - 3)^3 - (2x - 3)^2 - 6(2x - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(2x - 3)$ за скобки:

$(2x - 3)((2x - 3)^2 - (2x - 3) - 6) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x_1 = \frac{3}{2}$

2) $(2x - 3)^2 - (2x - 3) - 6 = 0$

Для решения второго уравнения введем замену переменной. Пусть $y = 2x - 3$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 - y - 6 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-6$. Легко подобрать корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

Если $y = 3$:

$2x - 3 = 3 \implies 2x = 6 \implies x_2 = 3$

Если $y = -2$:

$2x - 3 = -2 \implies 2x = 1 \implies x_3 = \frac{1}{2}$

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: $\frac{1}{2}; \frac{3}{2}; 3$.

3.2. а) $(2x - 1)^4 - x^2 = 0;$

б) $x^4 - 4x^3 + 4x^2 = (7x + 1)^2;$

в) $(8x + 3)^2 - x^4 = 8x^2 + 16;$

г) $x^4 - x^2 + 2x = 1.$

а) $(2x - 1)^4 - x^2 = 0$

Представим уравнение в виде разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = (2x - 1)^2$ и $b = x$.

$((2x - 1)^2)^2 - x^2 = 0$

$((2x - 1)^2 - x)((2x - 1)^2 + x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1. $(2x - 1)^2 - x = 0$

Раскроем скобки: $4x^2 - 4x + 1 - x = 0$

$4x^2 - 5x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Находим корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{8}$.

$x_1 = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$x_2 = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

2. $(2x - 1)^2 + x = 0$

Раскроем скобки: $4x^2 - 4x + 1 + x = 0$

$4x^2 - 3x + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 9 - 16 = -7$.

Так как $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Ответ: $1; \frac{1}{4}$.

б) $x^4 - 4x^3 + 4x^2 = (7x + 1)^2$

Преобразуем левую часть уравнения, вынеся за скобки $x^2$:

$x^2(x^2 - 4x + 4) = (7x + 1)^2$

Выражение в скобках является полным квадратом $(x-2)^2$.

$x^2(x-2)^2 = (7x + 1)^2$

$(x(x-2))^2 = (7x + 1)^2$

$(x^2 - 2x)^2 = (7x + 1)^2$

Это уравнение вида $A^2=B^2$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ или $A=-B$.

1. $x^2 - 2x = 7x + 1$

$x^2 - 9x - 1 = 0$

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 81 + 4 = 85$

$x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2}$

2. $x^2 - 2x = -(7x + 1)$

$x^2 - 2x = -7x - 1$

$x^2 + 5x + 1 = 0$

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$

$x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$

Ответ: $\frac{9 \pm \sqrt{85}}{2}; \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

в) $(8x + 3)^2 - x^4 = 8x^2 + 16$

Перенесем члены уравнения, чтобы сгруппировать их:

$(8x + 3)^2 = x^4 + 8x^2 + 16$

Правая часть уравнения представляет собой полный квадрат: $x^4 + 8x^2 + 16 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 4 + 4^2 = (x^2 + 4)^2$.

Получаем уравнение: $(8x + 3)^2 = (x^2 + 4)^2$.

Это уравнение вида $A^2=B^2$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ или $A=-B$.

1. $8x + 3 = x^2 + 4$

$x^2 - 8x + 1 = 0$

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 64 - 4 = 60$

$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 4 \pm \sqrt{15}$

2. $8x + 3 = -(x^2 + 4)$

$8x + 3 = -x^2 - 4$

$x^2 + 8x + 7 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_3 = -1$, $x_4 = -7$.

Ответ: $-7; -1; 4 \pm \sqrt{15}$.

г) $x^4 - x^2 + 2x = 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^4 - x^2 + 2x - 1 = 0$

Сгруппируем члены, чтобы выделить полный квадрат:

$x^4 - (x^2 - 2x + 1) = 0$

Выражение в скобках является полным квадратом $(x-1)^2$.

$x^4 - (x-1)^2 = 0$

$(x^2)^2 - (x-1)^2 = 0$

Применим формулу разности квадратов:

$(x^2 - (x - 1))(x^2 + (x - 1)) = 0$

$(x^2 - x + 1)(x^2 + x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $x^2 - x + 1 = 0$

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет.

2. $x^2 + x - 1 = 0$

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Ответ: $\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

3.3. a) $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0;$

б) $x^8 + 11x^5 - 32x^3 - 352 = 0;$

в) $5x^3 - 15x^2 - x + 3 = 0;$

г) $x^3 - 2x^2 + x = (x^2 - 2x + 1)^2.$

а) Решим уравнение $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$ методом группировки.
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: $(x^3 - 3x^2) - (x - 3) = 0$.
Вынесем общий множитель $x^2$ из первой скобки: $x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0$.
Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки: $(x - 3)(x^2 - 1) = 0$.
Разложим второй множитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $(x - 3)(x - 1)(x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x - 3 = 0 \implies x = 3$.
$x - 1 = 0 \implies x = 1$.
$x + 1 = 0 \implies x = -1$.
Ответ: $-1; 1; 3$.

б) Решим уравнение $x^8 + 11x^5 - 32x^3 - 352 = 0$ методом группировки.
Сгруппируем слагаемые: $(x^8 + 11x^5) - (32x^3 + 352) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x^5(x^3 + 11) - 32(x^3 + 11) = 0$.
Вынесем общий множитель $(x^3 + 11)$ за скобки: $(x^3 + 11)(x^5 - 32) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $x^3 + 11 = 0 \implies x^3 = -11 \implies x = \sqrt[3]{-11} \implies x = -\sqrt[3]{11}$.
2) $x^5 - 32 = 0 \implies x^5 = 32 \implies x = \sqrt[5]{32} \implies x = 2$.
Ответ: $-\sqrt[3]{11}; 2$.

в) Решим уравнение $5x^3 - 15x^2 - x + 3 = 0$ методом группировки.
Сгруппируем слагаемые: $(5x^3 - 15x^2) - (x - 3) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $5x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0$.
Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки: $(x - 3)(5x^2 - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
2) $5x^2 - 1 = 0 \implies 5x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{5} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $3; -\frac{\sqrt{5}}{5}; \frac{\sqrt{5}}{5}$.

г) Решим уравнение $x^3 - 2x^2 + x = (x^2 - 2x + 1)^2$.
Преобразуем левую часть уравнения. Вынесем $x$ за скобки: $x(x^2 - 2x + 1) = (x^2 - 2x + 1)^2$.
Заметим, что выражение в скобках $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом разности: $(x-1)^2$.
Уравнение принимает вид: $x(x-1)^2 = ((x-1)^2)^2$.
$x(x-1)^2 = (x-1)^4$.
Перенесем все члены в одну сторону: $(x-1)^4 - x(x-1)^2 = 0$.
Вынесем общий множитель $(x-1)^2$ за скобки: $(x-1)^2 ((x-1)^2 - x) = 0$.
Раскроем скобки внутри квадратных скобок: $(x-1)^2 (x^2 - 2x + 1 - x) = 0$.
$(x-1)^2 (x^2 - 3x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $(x-1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.
2) $x^2 - 3x + 1 = 0$. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Таким образом, получаем еще два корня: $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ и $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $1; \frac{3 - \sqrt{5}}{2}; \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.