Страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.35. Найдите значения параметра $a$, при которых многочлен

имеет ровно три различных корня:

а) $3(x + 5)(x - 7)(x + 1)(x - a);$

б) $(ax^2 + 5x + 1)(x^2 - x - 2);$

в) $(x^2 - (a + 1)x + a)(x^2 - x - a);$

г) $(3x^2 + x - a)(2x + a).$

а) Многочлен $3(x + 5)(x - 7)(x + 1)(x - a)$ представляет собой произведение четырех линейных множителей. Его корни находятся, когда каждый из множителей равен нулю: $x + 5 = 0 \implies x_1 = -5$
$x - 7 = 0 \implies x_2 = 7$
$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$
$x - a = 0 \implies x_4 = a$

Первые три корня $x_1 = -5$, $x_2 = 7$ и $x_3 = -1$ являются различными. Чтобы у многочлена было ровно три различных корня, четвертый корень $x_4 = a$ должен совпадать с одним из трех уже найденных корней.

Следовательно, возможные значения для параметра $a$: $a = -5$, $a = 7$ или $a = -1$.

Ответ: $a \in \{-5, -1, 7\}$.

б) Рассмотрим многочлен $(ax^2 + 5x + 1)(x^2 - x - 2)$. Его корни — это объединение корней уравнений $ax^2 + 5x + 1 = 0$ и $x^2 - x - 2 = 0$.

Сначала найдем корни второго множителя: $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Таким образом, у нас уже есть два различных корня.

Теперь рассмотрим первый множитель $ax^2 + 5x + 1 = 0$. 1. Если $a = 0$, уравнение становится линейным: $5x + 1 = 0$, откуда $x_3 = -1/5$. Множество корней: $\{-1, 2, -1/5\}$. Это три различных корня. Значит, $a = 0$ является решением.

2. Если $a \neq 0$, уравнение $ax^2 + 5x + 1 = 0$ является квадратным. Его дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot a \cdot 1 = 25 - 4a$. Для получения ровно трех различных корней возможны следующие случаи:

• Квадратное уравнение имеет один корень (т.е. $D = 0$), и этот корень не равен $2$ или $-1$.
  $D = 25 - 4a = 0 \implies a = 25/4$.
  Корень уравнения: $x = -5/(2a) = -5/(2 \cdot 25/4) = -5/(50/4) = -2/5$.
  Этот корень отличается от $2$ и $-1$. Множество корней: $\{-1, 2, -2/5\}$. Три различных корня. Значит, $a = 25/4$ является решением.
• Квадратное уравнение имеет два различных корня (т.е. $D > 0$), но один из них совпадает с одним из уже известных корней ($2$ или $-1$).
  Условие $D > 0$ означает $25 - 4a > 0$, то есть $a < 25/4$.
  а) Один из корней равен $2$. Подставим $x=2$ в уравнение: $a(2)^2 + 5(2) + 1 = 0 \implies 4a + 11 = 0 \implies a = -11/4$. Это значение удовлетворяет условию $a < 25/4$. При $a = -11/4$ второй корень уравнения $(-11/4)x^2 + 5x + 1 = 0$ равен $-2/11$. Множество корней: $\{-1, 2, -2/11\}$. Три различных корня. Значит, $a = -11/4$ является решением.
  б) Один из корней равен $-1$. Подставим $x=-1$ в уравнение: $a(-1)^2 + 5(-1) + 1 = 0 \implies a - 4 = 0 \implies a = 4$. Это значение удовлетворяет условию $a < 25/4$. При $a = 4$ второй корень уравнения $4x^2 + 5x + 1 = 0$ равен $-1/4$. Множество корней: $\{-1, 2, -1/4\}$. Три различных корня. Значит, $a = 4$ является решением.

Ответ: $a \in \{-11/4, 0, 4, 25/4\}$.

в) Рассмотрим многочлен $(x^2 - (a + 1)x + a)(x^2 - x - a)$. Его корни — это объединение корней уравнений $x^2 - (a + 1)x + a = 0$ и $x^2 - x - a = 0$.

1. Для первого уравнения $x^2 - (a + 1)x + a = 0$ по теореме Виета сумма корней равна $a+1$, а произведение равно $a$. Легко видеть, что корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = a$. Они различны при $a \neq 1$.

2. Для второго уравнения $x^2 - x - a = 0$ дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(-a) = 1 + 4a$.

Рассмотрим случаи:

• Пусть $a = 1$. Первое уравнение имеет один корень $x=1$ (кратности 2). Второе уравнение становится $x^2 - x - 1 = 0$, его корни $x = (1 \pm \sqrt{5})/2$. Множество всех корней: $\{1, (1 + \sqrt{5})/2, (1 - \sqrt{5})/2\}$. Три различных корня. Значит, $a = 1$ является решением.
• Пусть $a \neq 1$. Тогда первое уравнение дает два различных корня: $1$ и $a$. Чтобы общее число различных корней было равно трем, совокупность корней второго уравнения должна добавить ровно один новый корень.
  а) Уравнение $x^2 - x - a = 0$ имеет один корень (т.е. $D=0$), и этот корень не равен ни $1$, ни $a$. $D = 1 + 4a = 0 \implies a = -1/4$. Корень $x = -(-1)/2 = 1/2$. При $a = -1/4$ корни первого уравнения: $1$ и $-1/4$. Корень второго: $1/2$. Множество всех корней: $\{1, -1/4, 1/2\}$. Три различных корня. Значит, $a = -1/4$ является решением.
  б) Уравнение $x^2 - x - a = 0$ имеет два различных корня ($D > 0 \implies a > -1/4$), и один из них совпадает с $1$ или $a$, а другой является новым.
  - Если корень $x=1$ является корнем $x^2 - x - a = 0$, то $1^2 - 1 - a = 0 \implies a = 0$. При $a=0$ корни первого уравнения $\{1, 0\}$, корни второго $x^2-x=0$ тоже $\{1, 0\}$. Общее множество корней $\{0, 1\}$. Всего два корня. Не подходит.
  - Если корень $x=a$ является корнем $x^2 - x - a = 0$, то $a^2 - a - a = 0 \implies a^2 - 2a = 0 \implies a(a-2)=0$. Отсюда $a=0$ или $a=2$. Случай $a=0$ мы уже рассмотрели. Проверим $a=2$. При $a=2$ корни первого уравнения $\{1, 2\}$. Второе уравнение $x^2 - x - 2 = 0$ имеет корни $x_1=2, x_2=-1$. Общее множество корней $\{1, 2, -1\}$. Три различных корня. Значит, $a=2$ является решением.

Ответ: $a \in \{-1/4, 1, 2\}$.

г) Рассмотрим многочлен $(3x^2 + x - a)(2x + a)$. Его корни — это объединение корней уравнений $3x^2 + x - a = 0$ и $2x + a = 0$.

Из линейного уравнения $2x + a = 0$ получаем корень $x_1 = -a/2$.

Чтобы у многочлена было ровно три различных корня, необходимо, чтобы квадратное уравнение $3x^2 + x - a = 0$ имело два различных корня, и ни один из них не совпадал с корнем $x_1 = -a/2$.

1. Условие наличия двух различных корней у квадратного уравнения: дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля. $D = 1^2 - 4(3)(-a) = 1 + 12a$. $1 + 12a > 0 \implies 12a > -1 \implies a > -1/12$.

2. Условие, что ни один из корней квадратного уравнения не равен $-a/2$. Найдем значения $a$, при которых это совпадение происходит, и исключим их. Подставим $x = -a/2$ в $3x^2 + x - a = 0$: $3(-a/2)^2 + (-a/2) - a = 0$
$3(a^2/4) - a/2 - a = 0$
$3a^2/4 - 3a/2 = 0$
$3a^2 - 6a = 0$
$3a(a - 2) = 0$
Совпадение корней происходит при $a = 0$ и $a = 2$. Эти значения параметра нужно исключить.

Оба значения ($a=0$ и $a=2$) удовлетворяют условию $a > -1/12$, поэтому их следует исключить из найденного промежутка.

Таким образом, многочлен имеет ровно три различных корня при $a > -1/12$, $a \neq 0$ и $a \neq 2$.

Ответ: $a \in (-1/12, 0) \cup (0, 2) \cup (2, +\infty)$.

•1.36. При каких значениях параметра a заданный многочлен имеет кратные корни:

a) $(2x + 5)(3x - 1)(x - a)(x - 2a);$

б) $(x^2 - (3a - 2)x - 6a)(x^2 - (5a + 3)x + a)(x - 2)$?

Многочлен имеет кратные корни, если хотя бы два из его корней совпадают. Поскольку многочлены представлены в виде произведения сомножителей, их корни – это объединение корней каждого из сомножителей.

а) (2x + 5)(3x - 1)(x - a)(x - 2a)

Найдем корни каждого сомножителя, приравняв его к нулю:

• $2x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -2.5$
• $3x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1/3$
• $x - a = 0 \Rightarrow x_3 = a$
• $x - 2a = 0 \Rightarrow x_4 = 2a$

Кратные корни появятся, если какие-либо из этих корней окажутся равными. Так как $x_1 \neq x_2$, необходимо приравнять корни, зависящие от параметра $a$, к другим корням.

Рассмотрим все возможные случаи:

1. Корень $x_3$ совпадает с другими корнями:
   • $a = x_1 \Rightarrow a = -2.5$
   • $a = x_2 \Rightarrow a = 1/3$
2. Корень $x_4$ совпадает с другими корнями:
   • $2a = x_1 \Rightarrow 2a = -2.5 \Rightarrow a = -1.25$
   • $2a = x_2 \Rightarrow 2a = 1/3 \Rightarrow a = 1/6$
3. Корни, зависящие от параметра, равны между собой:
   • $x_3 = x_4 \Rightarrow a = 2a \Rightarrow a = 0$

Объединяя все найденные значения, получаем искомые значения параметра $a$.

Ответ: $a \in \{-2.5; -1.25; 0; 1/6; 1/3\}$.

б) (x² - (3a - 2)x - 6a)(x² - (5a + 3)x + a)(x - 2)

Найдем корни каждого сомножителя.

1. Для первого квадратного трехчлена $x^2 - (3a - 2)x - 6a = 0$:
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 3a - 2$, а их произведение $x_1 x_2 = -6a$. Легко подобрать корни: $x_1 = 3a$ и $x_2 = -2$.
Проверим: $3a + (-2) = 3a - 2$; $(3a)(-2) = -6a$. Корни найдены верно.
Таким образом, первый сомножитель раскладывается как $(x - 3a)(x + 2)$.

2. Для второго квадратного трехчлена $x^2 - (5a + 3)x + a = 0$:
Кратный корень может возникнуть, если дискриминант этого трехчлена равен нулю.
$D = (-(5a + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 25a^2 + 30a + 9 - 4a = 25a^2 + 26a + 9$.
Найдем дискриминант для этого квадратного уравнения относительно $a$: $D_a = 26^2 - 4 \cdot 25 \cdot 9 = 676 - 900 = -224 < 0$.
Так как $D_a < 0$ и коэффициент при $a^2$ положителен, то $25a^2 + 26a + 9 > 0$ при любых $a$. Следовательно, второй трехчлен всегда имеет два различных корня и сам по себе кратных корней не порождает.
Примечание: В подобных задачах часто встречаются опечатки. Если бы свободный член был $15a$, трехчлен бы легко раскладывался на $(x-5a)(x-3)$. Однако будем решать задачу в том виде, как она дана.

3. Для линейного множителя $x - 2 = 0$ корень $x_3 = 2$.

Итак, мы имеем набор корней: $3a$, $-2$, $2$ и два различных корня уравнения $x^2 - (5a + 3)x + a = 0$.

Кратные корни возникают в следующих случаях:

1. Один из известных корней ($3a$, $-2$ или $2$) является также корнем уравнения $x^2 - (5a + 3)x + a = 0$.
   • Подставим $x = 3a$:
     $(3a)^2 - (5a + 3)(3a) + a = 0$
     $9a^2 - (15a^2 + 9a) + a = 0$
     $9a^2 - 15a^2 - 9a + a = 0$
     $-6a^2 - 8a = 0$
     $-2a(3a + 4) = 0 \Rightarrow a_1 = 0, a_2 = -4/3$.
   • Подставим $x = -2$:
     $(-2)^2 - (5a + 3)(-2) + a = 0$
     $4 - (-10a - 6) + a = 0$
     $4 + 10a + 6 + a = 0$
     $11a + 10 = 0 \Rightarrow a_3 = -10/11$.
   • Подставим $x = 2$:
     $(2)^2 - (5a + 3)(2) + a = 0$
     $4 - (10a + 6) + a = 0$
     $4 - 10a - 6 + a = 0$
     $-9a - 2 = 0 \Rightarrow a_4 = -2/9$.
2. Известные корни совпадают между собой.
   • $3a = -2 \Rightarrow a_5 = -2/3$.
   • $3a = 2 \Rightarrow a_6 = 2/3$.

Объединяем все найденные значения параметра $a$.

Ответ: $a \in \{-4/3; -10/11; -2/3; -2/9; 0; 2/3\}$.

1.37. Найдите действительные корни многочлена:

a) $3x^4 - 5x^2 + 2;$

б) $x^5 + 3x^4 - 3x^3 - x^2 - 3x + 3.$

а) Чтобы найти действительные корни многочлена $3x^4 - 5x^2 + 2$, приравняем его к нулю и решим полученное уравнение:$$3x^4 - 5x^2 + 2 = 0$$Данное уравнение является биквадратным. Введем замену переменной: пусть $y = x^2$. Поскольку ищутся действительные значения $x$, то $y$ должно быть неотрицательным, то есть $y \ge 0$.После замены получаем квадратное уравнение относительно $y$:$$3y^2 - 5y + 2 = 0$$Найдем его корни, используя формулу для корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант:$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$$Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня:$$y_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$$$y_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$$Оба найденных значения для $y$ удовлетворяют условию $y \ge 0$. Теперь выполним обратную замену для каждого из корней.
1. При $y = \frac{2}{3}$ получаем уравнение $x^2 = \frac{2}{3}$. Его корни:$$x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$$2. При $y = 1$ получаем уравнение $x^2 = 1$. Его корни:$$x = \pm\sqrt{1} = \pm 1$$Таким образом, многочлен имеет четыре действительных корня.
Ответ: $\pm 1; \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.

б) Чтобы найти действительные корни многочлена $x^5 + 3x^4 - 3x^3 - x^2 - 3x + 3$, решим уравнение:$$x^5 + 3x^4 - 3x^3 - x^2 - 3x + 3 = 0$$Для решения этого уравнения применим метод группировки слагаемых:$$(x^5 - x^2) + (3x^4 - 3x) - (3x^3 - 3) = 0$$Вынесем общие множители из каждой скобки:$$x^2(x^3 - 1) + 3x(x^3 - 1) - 3(x^3 - 1) = 0$$Теперь общий множитель $(x^3 - 1)$ можно вынести за скобку:$$(x^3 - 1)(x^2 + 3x - 3) = 0$$Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1. $x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1$. Это уравнение имеет один действительный корень $x_1 = 1$.
2. $x^2 + 3x - 3 = 0$. Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:$$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21$$Дискриминант положителен, следовательно, уравнение имеет два действительных корня:$$x_{2,3} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$$Таким образом, многочлен имеет три действительных корня.
Ответ: $1; \frac{-3 + \sqrt{21}}{2}; \frac{-3 - \sqrt{21}}{2}$.

1.38. Докажите, что многочлен не имеет действительных корней:

a) $x^6 - 5x^3 + 7;$

б) $x^4 - x + 2.$

а) Чтобы доказать, что многочлен $x^6 - 5x^3 + 7$ не имеет действительных корней, мы покажем, что он принимает только положительные значения при любом действительном $x$.

Сделаем замену переменной $y = x^3$. Так как $x$ — любое действительное число, $y$ также может принимать любое действительное значение. Многочлен принимает вид квадратного трехчлена от $y$: $y^2 - 5y + 7$.

Для того чтобы найти наименьшее значение этого выражения, выделим в нем полный квадрат:

$y^2 - 5y + 7 = \left(y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{5}{2} + \left(\frac{5}{2}\right)^2\right) - \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 7 = \left(y - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} + \frac{28}{4} = \left(y - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$

Квадрат любого действительного числа, $\left(y - \frac{5}{2}\right)^2$, является неотрицательной величиной, то есть $\left(y - \frac{5}{2}\right)^2 \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение всего выражения $\left(y - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$ равно $\frac{3}{4}$, и оно достигается при $y = \frac{5}{2}$.

Таким образом, для любого действительного $x$, $x^6 - 5x^3 + 7 = \left(x^3 - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}$. Поскольку $\frac{3}{4} > 0$, значение многочлена всегда положительно и никогда не равно нулю.

Ответ: Многочлен не имеет действительных корней.

б) Чтобы доказать, что многочлен $x^4 - x + 2$ не имеет действительных корней, мы покажем, что он принимает только положительные значения при любом действительном $x$.

Для этого преобразуем многочлен, представив его в виде суммы квадратов и положительного числа. Покажем, что справедливо следующее тождество:

$x^4 - x + 2 = \left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}$

Для проверки тождества раскроем скобки в правой части:

$\left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2} = \left(x^4 - 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) + \left(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) + \frac{3}{2}$

$= x^4 - x^2 + x^2 - x + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = x^4 - x + \frac{2}{4} + \frac{3}{2} = x^4 - x + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = x^4 - x + 2$

Поскольку правая часть тождественно равна левой, тождество доказано.

Теперь проанализируем выражение $\left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому:

$\left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$

$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$

Следовательно, их сумма, сложенная с положительным числом $\frac{3}{2}$, всегда будет положительной:

$x^4 - x + 2 = \left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2} \ge 0 + 0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Поскольку наименьшее значение многочлена равно $\frac{3}{2}$, что больше нуля, многочлен никогда не обращается в ноль.

Ответ: Многочлен не имеет действительных корней.

1.39. В данное предложение вместо многоточия вставьте один из пропущенных оборотов: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»; докажите полученное утверждение:

а) для того чтобы многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами делился без остатка на двучлен $x - x_0$, $x_0 \in \mathbb{Z}$, $x_0 \ne 0$, ..., чтобы его свободный член делился без остатка на $x_0$;

б) для того чтобы свободный член многочлена $f(x)$ с целыми коэффициентами делился без остатка на целое число $x_0 \ne 0$, ..., чтобы $x_0$ был корнем многочлена $f(x)$.

а) В данное предложение следует вставить слово «необходимо».

Полученное утверждение: для того чтобы многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами делился без остатка на двучлен $x - x_0$, $x_0 \in \mathbb{Z}, x_0 \ne 0$, необходимо, чтобы его свободный член делился без остатка на $x_0$.

Доказательство.

Пусть многочлен $f(x)$ имеет вид $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где коэффициенты $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$ — целые числа.

1. Докажем необходимость.

Пусть многочлен $f(x)$ делится без остатка на двучлен $x - x_0$. Согласно следствию из теоремы Безу (теореме о корне), это равносильно тому, что $x_0$ является корнем многочлена $f(x)$, то есть $f(x_0) = 0$.

Подставим $x_0$ в многочлен:

$f(x_0) = a_n x_0^n + a_{n-1} x_0^{n-1} + \dots + a_1 x_0 + a_0 = 0$

Выразим свободный член $a_0$:

$a_0 = - (a_n x_0^n + a_{n-1} x_0^{n-1} + \dots + a_1 x_0)$

Вынесем $x_0$ за скобки в правой части равенства:

$a_0 = -x_0 (a_n x_0^{n-1} + a_{n-1} x_0^{n-2} + \dots + a_1)$

Поскольку все коэффициенты $a_i$ и число $x_0$ являются целыми, то выражение в скобках также является целым числом. Обозначим его как $k = -(a_n x_0^{n-1} + \dots + a_1) \in \mathbb{Z}$.

Тогда $a_0 = k \cdot x_0$, что по определению означает, что свободный член $a_0$ делится без остатка на $x_0$. Необходимость доказана.

2. Покажем, что условие не является достаточным.

Для этого приведем контрпример. Рассмотрим многочлен $f(x) = x^2 + 2x + 4$ и число $x_0 = 2$. Коэффициенты многочлена (1, 2, 4) — целые. Свободный член $a_0 = 4$ делится на $x_0 = 2$.

Однако, проверим, делится ли $f(x)$ на $x-2$. Для этого вычислим $f(2)$:

$f(2) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

Так как $f(2) \ne 0$, многочлен $f(x)$ не делится без остатка на $x-2$. Следовательно, данное условие не является достаточным.

Ответ: необходимо.

б) В данное предложение следует вставить слово «достаточно».

Полученное утверждение: для того чтобы свободный член многочлена $f(x)$ с целыми коэффициентами делился без остатка на целое число $x_0 \ne 0$, достаточно, чтобы $x_0$ был корнем многочлена $f(x)$.

Доказательство.

Пусть многочлен $f(x)$ имеет вид $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где коэффициенты $a_i$ — целые числа.

1. Докажем достаточность.

Пусть $x_0$ является корнем многочлена $f(x)$. Это означает, что $f(x_0) = 0$.

Подставим $x_0$ в многочлен:

$f(x_0) = a_n x_0^n + a_{n-1} x_0^{n-1} + \dots + a_1 x_0 + a_0 = 0$

Выразим свободный член $a_0$:

$a_0 = - (a_n x_0^n + a_{n-1} x_0^{n-1} + \dots + a_1 x_0)$

Вынесем $x_0$ за скобки:

$a_0 = -x_0 (a_n x_0^{n-1} + a_{n-1} x_0^{n-2} + \dots + a_1)$

Так как $a_i \in \mathbb{Z}$ и $x_0 \in \mathbb{Z}$, выражение в скобках является целым числом. Это означает, что $a_0$ представимо в виде произведения $x_0$ на некоторое целое число, то есть $a_0$ делится без остатка на $x_0$. Достаточность доказана.

2. Покажем, что условие не является необходимым.

Для этого приведем контрпример. Рассмотрим многочлен $f(x) = x + 3$ и число $x_0 = 3$. Коэффициенты (1, 3) — целые. Свободный член $a_0 = 3$ делится на $x_0 = 3$.

Однако, проверим, является ли $x_0=3$ корнем многочлена $f(x)$.

$f(3) = 3 + 3 = 6$

Так как $f(3) \ne 0$, число $x_0=3$ не является корнем многочлена $f(x)$. Таким образом, для того, чтобы свободный член делился на $x_0$, не обязательно, чтобы $x_0$ был корнем. Следовательно, условие не является необходимым.

Ответ: достаточно.

1.40. Найдите целые корни многочлена; в ответе укажите множество целых корней многочлена и кратность всех его целых корней, если эти кратности больше 1:

а) $x^3 - 4x^2 + x + 6;$

б) $x^4 + 5x^2 - 6;$

в) $x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 5x + 2;$

г) $x^6 + x^5 - 10x^4 - 12x^3 + 19x^2 + 35x + 14.$

Рассмотрим многочлен $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Согласно теореме о рациональных корнях, любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами должен быть делителем его свободного члена. Свободный член равен 6. Делители числа 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Проверим эти значения, подставляя их в многочлен:

• $P(1) = 1^3 - 4(1)^2 + 1 + 6 = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 \neq 0$
• $P(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем.
• $P(2) = 2^3 - 4(2)^2 + 2 + 6 = 8 - 16 + 2 + 6 = 0$. Значит, $x = 2$ является корнем.
• $P(3) = 3^3 - 4(3)^2 + 3 + 6 = 27 - 36 + 3 + 6 = 0$. Значит, $x = 3$ является корнем.

Мы нашли три различных целых корня для многочлена третьей степени. Следовательно, это все его корни. Кратность каждого корня равна 1.

Ответ: Множество целых корней: $\{-1, 2, 3\}$.

Рассмотрим многочлен $P(x) = x^4 + 5x^2 - 6$. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$. Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$: $y^2 + 5y - 6 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета: $y_1 + y_2 = -5$ и $y_1 \cdot y_2 = -6$. Отсюда $y_1 = 1$ и $y_2 = -6$.

Корень $y_2 = -6$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому его отбрасываем. Возвращаемся к исходной переменной $x$ для корня $y_1 = 1$: $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

Оба корня, $1$ и $-1$, являются целыми. Кратность каждого корня равна 1.

Ответ: Множество целых корней: $\{-1, 1\}$.

Рассмотрим многочлен $P(x) = x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 5x + 2$. Целые корни многочлена должны быть делителями свободного члена, равного 2. Делители числа 2: $\pm 1, \pm 2$.

Проверим эти значения:

• $P(1) = 1 - 2 - 6 + 5 + 2 = 0$. Значит, $x = 1$ является корнем.
• $P(-1) = 1 + 2 - 6 - 5 + 2 = -6 \neq 0$.
• $P(2) = 16 - 16 - 24 + 10 + 2 = -8 \neq 0$.
• $P(-2) = 16 - 2(-8) - 6(4) + 5(-2) + 2 = 16 + 16 - 24 - 10 + 2 = 0$. Значит, $x = -2$ является корнем.

Мы нашли два целых корня: $1$ и $-2$. Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $P(x)$ на $(x-1)$ и $(x+2)$. Это эквивалентно делению на $(x-1)(x+2) = x^2+x-2$. Выполнив деление столбиком, получим: $(x^4 - 2x^3 - 6x^2 + 5x + 2) \div (x^2 + x - 2) = x^2 - 3x - 1$. Таким образом, $P(x) = (x - 1)(x + 2)(x^2 - 3x - 1)$.

Оставшиеся корни являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 3x - 1 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(1)(-1) = 9 + 4 = 13$. Корни $x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$ не являются целыми. Следовательно, целыми корнями исходного многочлена являются только $1$ и $-2$. Кратность каждого из них равна 1.

Ответ: Множество целых корней: $\{-2, 1\}$.

Рассмотрим многочлен $P(x) = x^6 + x^5 - 10x^4 - 12x^3 + 19x^2 + 35x + 14$. Целые корни должны быть делителями свободного члена 14. Делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$.

Проверим некоторые из них:

• $P(-1) = 1 - 1 - 10 + 12 + 19 - 35 + 14 = 0$. Значит, $x = -1$ является корнем.
• $P(2) = 64 + 32 - 160 - 96 + 76 + 70 + 14 = 0$. Значит, $x = 2$ является корнем.

Проверим кратность корня $x = -1$. Для этого будем последовательно делить многочлен на $(x+1)$. После первого деления получим: $P(x) = (x+1)(x^5 - 10x^3 - 2x^2 + 21x + 14)$. Проверим, является ли $x=-1$ корнем частного $Q_1(x) = x^5 - 10x^3 - 2x^2 + 21x + 14$: $Q_1(-1) = -1 -10(-1) -2(1) + 21(-1) + 14 = -1 + 10 - 2 - 21 + 14 = 0$. Так как $Q_1(-1)=0$, кратность корня $x=-1$ как минимум 2. Делим $Q_1(x)$ на $(x+1)$: $Q_1(x) = (x+1)(x^4 - x^3 - 9x^2 + 7x + 14)$. Проверим, является ли $x=-1$ корнем частного $Q_2(x) = x^4 - x^3 - 9x^2 + 7x + 14$: $Q_2(-1) = 1 - (-1) - 9(1) + 7(-1) + 14 = 1+1-9-7+14 = 0$. Так как $Q_2(-1)=0$, кратность корня $x=-1$ как минимум 3. Делим $Q_2(x)$ на $(x+1)$: $Q_2(x) = (x+1)(x^3 - 2x^2 - 7x + 14)$. Проверим, является ли $x=-1$ корнем частного $Q_3(x) = x^3 - 2x^2 - 7x + 14$: $Q_3(-1) = -1 - 2(1) - 7(-1) + 14 = -1 - 2 + 7 + 14 = 18 \neq 0$. Следовательно, кратность корня $x = -1$ равна 3.

Итак, $P(x) = (x+1)^3(x^3 - 2x^2 - 7x + 14)$. Теперь найдем корни многочлена $Q_3(x) = x^3 - 2x^2 - 7x + 14$. Мы уже знаем, что $x=2$ является корнем $P(x)$, проверим его для $Q_3(x)$: $Q_3(2) = 2^3 - 2(2^2) - 7(2) + 14 = 8 - 8 - 14 + 14 = 0$. Значит, $x=2$ — корень $Q_3(x)$. Разделим $Q_3(x)$ на $(x-2)$: $x^3 - 2x^2 - 7x + 14 = x^2(x-2) - 7(x-2) = (x-2)(x^2-7)$.

Окончательное разложение многочлена на множители: $P(x) = (x+1)^3(x-2)(x^2-7)$. Корни множителя $x^2-7$, равные $\pm\sqrt{7}$, не являются целыми. Таким образом, целыми корнями являются $x=-1$ и $x=2$. Кратность корня $x=2$ равна 1.

Ответ: Множество целых корней: $\{-1, 2\}$. Корень $x=-1$ имеет кратность 3.