Страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

При каком значении $a$ прямая $y = ax - 7$ касается параболы $y = 2x^2 - 5x + 1$?

Условие касания прямой и параболы заключается в том, что они имеют ровно одну общую точку. Координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям. Чтобы найти абсциссу $x$ этой точки, приравняем правые части уравнений прямой $y = ax - 7$ и параболы $y = 2x^2 - 5x + 1$.

$ax - 7 = 2x^2 - 5x + 1$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:
$2x^2 - 5x - ax + 1 + 7 = 0$
$2x^2 - (5 + a)x + 8 = 0$

Это квадратное уравнение имеет единственное решение для $x$ только в том случае, если его дискриминант $D$ равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.
В нашем случае коэффициенты равны:
$A = 2$
$B = -(5 + a)$
$C = 8$

Подставим эти значения в формулу дискриминанта и приравняем его к нулю:
$D = (-(5 + a))^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 0$
$(5 + a)^2 - 64 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:
$(5 + a)^2 = 64$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:
$5 + a = 8$ или $5 + a = -8$

Найдем значения $a$ для каждого случая:
1) $5 + a = 8 \implies a = 8 - 5 \implies a = 3$
2) $5 + a = -8 \implies a = -8 - 5 \implies a = -13$

Следовательно, существует два значения параметра $a$, при которых прямая касается параболы.
Ответ: $a = 3$ и $a = -13$.

П.31. Докажите, что функция $y = \frac{x^2 - 3}{x - 1}$ возрастает на любом промежутке области определения.

П.31.

Чтобы доказать, что функция возрастает на любом промежутке своей области определения, нужно найти её производную и показать, что она положительна на этих промежутках.

1. Найдём область определения функции.

Заданная функция $y = \frac{x^2 - 3}{x - 1}$ является дробно-рациональной. Её область определения — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x - 1 \neq 0$

$x \neq 1$

Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Промежутки области определения, о которых говорится в условии, это $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = x^2 - 3$ и $v(x) = x - 1$. Их производные равны $u'(x) = 2x$ и $v'(x) = 1$.

$y' = \left(\frac{x^2 - 3}{x - 1}\right)' = \frac{(x^2 - 3)'(x - 1) - (x^2 - 3)(x - 1)'}{(x - 1)^2}$

$y' = \frac{2x(x - 1) - (x^2 - 3) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 + 3}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 3}{(x - 1)^2}$

3. Исследуем знак производной.

Функция возрастает на тех промежутках, где её производная $y' > 0$.

Рассмотрим выражение для производной: $y' = \frac{x^2 - 2x + 3}{(x - 1)^2}$.

Знаменатель $(x - 1)^2$ является квадратом выражения. Он положителен для любого $x$ из области определения (т.е. при $x \neq 1$).

Теперь рассмотрим числитель: $x^2 - 2x + 3$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля). Чтобы определить знак этого выражения, найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратный трехчлен не имеет действительных корней. В сочетании с тем, что ветви параболы направлены вверх, это означает, что выражение $x^2 - 2x + 3$ всегда принимает положительные значения.

Это также можно показать, выделив полный квадрат:

$x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x - 1)^2 + 2$.

Так как $(x-1)^2 \ge 0$ для всех $x$, то $(x - 1)^2 + 2 \ge 2$, следовательно, числитель всегда строго положителен.

Поскольку и числитель, и знаменатель производной положительны для всех $x$ из области определения, то и сама производная $y'$ всегда положительна.

Так как $y' > 0$ на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$, функция $y = \frac{x^2 - 3}{x - 1}$ возрастает на каждом из этих промежутков, то есть на любом промежутке области определения.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{x^2 - 2x + 3}{(x - 1)^2}$ положительна на всей области определения $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$, следовательно, функция возрастает на любом промежутке области определения. Что и требовалось доказать.

П.32. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции $y = x^3 + 5x^2 - 8x + 4$.

Для того чтобы найти промежутки монотонности и экстремумы функции $y = x^3 + 5x^2 - 8x + 4$, необходимо исследовать ее первую производную.

1. Нахождение производной и критических точек.

Область определения данной функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим первую производную функции $y(x)$:

$y' = (x^3 + 5x^2 - 8x + 4)' = 3x^2 + 10x - 8$

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Так как $y'(x)$ — это многочлен, она существует при любых $x$. Найдем точки, в которых $y'(x) = 0$.

$3x^2 + 10x - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196$

$\sqrt{D} = 14$

Находим корни уравнения:

$x_1 = \frac{-10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$

$x_2 = \frac{-10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Мы получили две критические точки: $x = -4$ и $x = \frac{2}{3}$.

2. Промежутки монотонности

Критические точки $x = -4$ и $x = \frac{2}{3}$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов, чтобы найти промежутки возрастания ($y' > 0$) и убывания ($y' < 0$) функции.

— В интервале $(-\infty; -4)$: возьмем $x = -5$. $y'(-5) = 3(-5)^2 + 10(-5) - 8 = 3 \cdot 25 - 50 - 8 = 75 - 58 = 17 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.

— В интервале $(-4; \frac{2}{3})$: возьмем $x = 0$. $y'(0) = 3(0)^2 + 10(0) - 8 = -8 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.

— В интервале $(\frac{2}{3}; +\infty)$: возьмем $x = 1$. $y'(1) = 3(1)^2 + 10(1) - 8 = 3 + 10 - 8 = 5 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.

Поскольку функция непрерывна на всей числовой оси, мы можем включить концы интервалов в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -4]$ и $[\frac{2}{3}, +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-4, \frac{2}{3}]$.

3. Экстремумы

Точки экстремума — это точки, в которых производная меняет свой знак.

— В точке $x = -4$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума. Найдем значение функции в этой точке:

$y_{max} = y(-4) = (-4)^3 + 5(-4)^2 - 8(-4) + 4 = -64 + 5(16) + 32 + 4 = -64 + 80 + 32 + 4 = 52$

— В точке $x = \frac{2}{3}$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Найдем значение функции в этой точке:

$y_{min} = y(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 + 5(\frac{2}{3})^2 - 8(\frac{2}{3}) + 4 = \frac{8}{27} + 5(\frac{4}{9}) - \frac{16}{3} + 4$

Приводя к общему знаменателю 27, получаем:

$y_{min} = \frac{8}{27} + \frac{20 \cdot 3}{27} - \frac{16 \cdot 9}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27} = \frac{8 + 60 - 144 + 108}{27} = \frac{32}{27}$

Ответ: точка максимума $x_{max} = -4$, значение в точке максимума $y_{max} = 52$; точка минимума $x_{min} = \frac{2}{3}$, значение в точке минимума $y_{min} = \frac{32}{27}$.

П.33. Исследуйте функцию и постройте её график:

а) $y = \frac{3x - x^2}{x^2 - 3x + 4}$;б) $y = (x + 1)^2(x + 2).$

а) $y = \frac{3x - x^2}{x^2 - 3x + 4}$

Проведем полное исследование функции. Для удобства преобразуем выражение:

$y = \frac{-(x^2 - 3x)}{x^2 - 3x + 4} = \frac{-(x^2 - 3x + 4) + 4}{x^2 - 3x + 4} = -1 + \frac{4}{x^2 - 3x + 4}$

Дальнейшее исследование будем проводить для функции $y = -1 + \frac{4}{x^2 - 3x + 4}$.

• 1. Область определения

  Знаменатель дроби $x^2 - 3x + 4$. Найдем его корни. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, знаменатель всегда больше нуля. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

  Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

• 2. Четность и периодичность

  $y(-x) = \frac{3(-x) - (-x)^2}{(-x)^2 - 3(-x) + 4} = \frac{-3x - x^2}{x^2 + 3x + 4}$.

  Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Функция непериодическая.

• 3. Точки пересечения с осями координат

  Пересечение с осью Oy (x=0): $y(0) = \frac{0}{4} = 0$. Точка $(0, 0)$.

  Пересечение с осью Ox (y=0): $\frac{3x - x^2}{x^2 - 3x + 4} = 0 \Rightarrow 3x - x^2 = 0 \Rightarrow x(3 - x) = 0$. Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 3$. Точки $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

• 4. Асимптоты

  Вертикальные асимптоты: отсутствуют, так как знаменатель нигде не обращается в ноль.

  Горизонтальные асимптоты: найдем предел функции при $x \to \pm\infty$.

  $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x - x^2}{x^2 - 3x + 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(\frac{3}{x} - 1)}{x^2(1 - \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2})} = \frac{-1}{1} = -1$.

  Следовательно, $y = -1$ является горизонтальной асимптотой.

  Наклонные асимптоты: отсутствуют, так как есть горизонтальная.

• 5. Промежутки монотонности и точки экстремума

  Найдем первую производную: $y' = \left(-1 + \frac{4}{x^2 - 3x + 4}\right)' = -4(x^2 - 3x + 4)^{-2}(2x - 3) = \frac{-8x + 12}{(x^2 - 3x + 4)^2}$.

  Приравняем производную к нулю: $y' = 0 \Rightarrow -8x + 12 = 0 \Rightarrow x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$.

  Определим знаки производной на интервалах:

  При $x < 1.5$, $y' > 0$, функция возрастает на $(-\infty, 1.5)$.

  При $x > 1.5$, $y' < 0$, функция убывает на $(1.5, +\infty)$.

  В точке $x = 1.5$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.

  $y_{max} = y(1.5) = \frac{3(1.5) - (1.5)^2}{(1.5)^2 - 3(1.5) + 4} = \frac{4.5 - 2.25}{2.25 - 4.5 + 4} = \frac{2.25}{1.75} = \frac{9}{7}$.

  Точка максимума: $(1.5, \frac{9}{7})$.

• 6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба

  Найдем вторую производную: $y'' = \left(\frac{12 - 8x}{(x^2 - 3x + 4)^2}\right)' = \frac{-8(x^2 - 3x + 4)^2 - (12 - 8x) \cdot 2(x^2 - 3x + 4)(2x-3)}{(x^2 - 3x + 4)^4} = \frac{8(3x^2 - 9x + 5)}{(x^2 - 3x + 4)^3}$.

  Приравняем вторую производную к нулю: $3x^2 - 9x + 5 = 0$.

  Корни: $x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 60}}{6} = \frac{9 \pm \sqrt{21}}{6}$.

  $x_1 = \frac{9 - \sqrt{21}}{6} \approx 0.74$, $x_2 = \frac{9 + \sqrt{21}}{6} \approx 2.26$.

  Знаменатель $y''$ всегда положителен, поэтому знак $y''$ совпадает со знаком числителя $3x^2 - 9x + 5$.

  При $x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$, $y'' > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).

  При $x \in (x_1, x_2)$, $y'' < 0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).

  Точки $x_1$ и $x_2$ — абсциссы точек перегиба. Ордината в этих точках одинакова из-за симметрии графика относительно прямой $x=1.5$ и равна $y = \frac{5}{7}$.

  Точки перегиба: $(\frac{9 - \sqrt{21}}{6}, \frac{5}{7})$ и $(\frac{9 + \sqrt{21}}{6}, \frac{5}{7})$.

• 7. Построение графика

  На основе проведенного исследования строим график. Он начинается вблизи асимптоты $y=-1$ слева, возрастает, проходит через начало координат, в точке $(\approx 0.74, \approx 0.71)$ имеет перегиб (становится выпуклым), достигает максимума в $(1.5, 9/7 \approx 1.29)$, затем убывает. В точке $(\approx 2.26, \approx 0.71)$ снова перегиб (становится вогнутым), график пересекает ось Ox в точке $(3,0)$ и стремится к асимптоте $y=-1$ справа сверху.

Ответ: Проведено исследование функции. График функции имеет горизонтальную асимптоту $y=-1$, точку максимума $(1.5, 9/7)$, две точки перегиба $(\frac{9 \pm \sqrt{21}}{6}, \frac{5}{7})$ и пересекает оси координат в точках $(0,0)$ и $(3,0)$.

б) $y = (x + 1)^2 (x + 2)$

Проведем полное исследование функции. Раскроем скобки: $y = (x^2 + 2x + 1)(x + 2) = x^3 + 4x^2 + 5x + 2$.

• 1. Область определения

  Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.

  Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

• 2. Четность и периодичность

  $y(-x) = (-x)^3 + 4(-x)^2 + 5(-x) + 2 = -x^3 + 4x^2 - 5x + 2$.

  Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.

• 3. Точки пересечения с осями координат

  Пересечение с осью Oy (x=0): $y(0) = (0+1)^2(0+2) = 2$. Точка $(0, 2)$.

  Пересечение с осью Ox (y=0): $(x+1)^2(x+2) = 0$. Корни $x_1 = -1$ (кратность 2) и $x_2 = -2$. Точки $(-1, 0)$ и $(-2, 0)$. В точке $x=-1$ график касается оси Ox.

• 4. Асимптоты

  Так как функция является многочленом, вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты отсутствуют.

  $\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$.

• 5. Промежутки монотонности и точки экстремума

  Найдем первую производную: $y' = (x^3 + 4x^2 + 5x + 2)' = 3x^2 + 8x + 5$.

  Приравняем производную к нулю: $3x^2 + 8x + 5 = 0$.

  Корни: $x = \frac{-8 \pm \sqrt{64-60}}{6} = \frac{-8 \pm 2}{6}$. $x_1 = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$, $x_2 = -1$.

  Определим знаки производной:

  При $x \in (-\infty, -5/3)$, $y' > 0$, функция возрастает.

  При $x \in (-5/3, -1)$, $y' < 0$, функция убывает.

  При $x \in (-1, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

  В точке $x = -5/3$ — максимум. $y_{max} = y(-5/3) = (-5/3 + 1)^2(-5/3 + 2) = (-2/3)^2(1/3) = 4/27$. Точка максимума: $(-5/3, 4/27)$.

  В точке $x = -1$ — минимум. $y_{min} = y(-1) = (-1+1)^2(-1+2) = 0$. Точка минимума: $(-1, 0)$.

• 6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба

  Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 + 8x + 5)' = 6x + 8$.

  Приравняем вторую производную к нулю: $6x + 8 = 0 \Rightarrow x = -4/3$.

  При $x < -4/3$, $y'' < 0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).

  При $x > -4/3$, $y'' > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).

  Точка $x = -4/3$ — абсцисса точки перегиба. $y(-4/3) = (-4/3+1)^2(-4/3+2) = (-1/3)^2(2/3) = 2/27$.

  Точка перегиба: $(-4/3, 2/27)$.

• 7. Построение графика

  На основе проведенного исследования строим график. Функция приходит из $-\infty$, возрастает до точки максимума $(-5/3, 4/27) \approx (-1.67, 0.15)$, пересекая перед этим ось Ox в точке $(-2, 0)$. Затем убывает, проходит через точку перегиба $(-4/3, 2/27) \approx (-1.33, 0.07)$ и достигает минимума в точке $(-1, 0)$, где касается оси Ox. После этого функция возрастает, пересекает ось Oy в точке $(0, 2)$ и уходит в $+\infty$.

Ответ: Проведено исследование функции. График функции — кубическая парабола, имеющая точку максимума $(-5/3, 4/27)$, точку минимума $(-1, 0)$ и точку перегиба $(-4/3, 2/27)$. График пересекает оси координат в точках $(-2,0)$, $(-1,0)$ (касание) и $(0,2)$.