Страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

П.8. Упростите выражение $\frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{2 \sin \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) - \sqrt{3} \sin \alpha} + \sqrt{2} \operatorname{tg} \alpha.$

Для упрощения данного выражения, преобразуем отдельно числитель и знаменатель дроби, используя тригонометрические формулы сложения аргументов.

1. Преобразуем числитель: $ \sqrt{2}\cos\alpha - 2\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) $.

Используем формулу косинуса разности: $ \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y $.

Применим ее к выражению $ \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) $:

$ \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha $.

Так как $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) $.

Теперь подставим это в исходный числитель:

$ \sqrt{2}\cos\alpha - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha = -\sqrt{2}\sin\alpha $.

2. Преобразуем знаменатель: $ 2\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sqrt{3}\sin\alpha $.

Используем формулу синуса суммы: $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $.

Применим ее к выражению $ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) $:

$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha $.

Так как $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:

$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $.

Теперь подставим это в исходный знаменатель:

$ 2\left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) - \sqrt{3}\sin\alpha = (\cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha) - \sqrt{3}\sin\alpha = \cos\alpha $.

3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение.

Выражение $ \frac{\sqrt{2}\cos\alpha - 2\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sqrt{3}\sin\alpha} + \sqrt{2}\tan\alpha $ принимает вид:

$ \frac{-\sqrt{2}\sin\alpha}{\cos\alpha} + \sqrt{2}\tan\alpha $.

Используя определение тангенса $ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, заменим дробь на тангенс:

$ -\sqrt{2}\tan\alpha + \sqrt{2}\tan\alpha = 0 $.

Ответ: $0$

П.9. Докажите тождество $\frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} \left( 1 + \frac{(1 - \cos \alpha)^2}{\sin^2 \alpha} \right) = \frac{2}{\sin \alpha}$.

П.9.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Обозначим левую часть как Л.

Л = $ \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} \left( 1 + \frac{(1 - \cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha} \right) $

Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $\sin^2\alpha$:

$ 1 + \frac{(1 - \cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{(1 - \cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + (1 - \cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha} $

Раскроем квадрат разности в числителе, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(1 - \cos\alpha)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \cos\alpha + \cos^2\alpha = 1 - 2\cos\alpha + \cos^2\alpha$.

Подставим результат в числитель дроби:

$ \sin^2\alpha + 1 - 2\cos\alpha + \cos^2\alpha $

Сгруппируем слагаемые и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$ (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 1 - 2\cos\alpha = 1 + 1 - 2\cos\alpha = 2 - 2\cos\alpha $

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$ 2(1 - \cos\alpha) $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{2(1 - \cos\alpha)}{\sin^2\alpha} $

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в левую часть исходного тождества:

Л = $ \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{2(1 - \cos\alpha)}{\sin^2\alpha} $

Перемножим числители и знаменатели дробей:

Л = $ \frac{2(1 + \cos\alpha)(1 - \cos\alpha)}{\sin\alpha \cdot \sin^2\alpha} $

В числителе применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$ (1 + \cos\alpha)(1 - \cos\alpha) = 1^2 - \cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $

Из основного тригонометрического тождества следует, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$. Подставим это в числитель:

Л = $ \frac{2\sin^2\alpha}{\sin\alpha \cdot \sin^2\alpha} = \frac{2\sin^2\alpha}{\sin^3\alpha} $

Сократим дробь на $\sin^2\alpha$. Это действие является корректным, так как область допустимых значений исходного выражения требует, чтобы $\sin\alpha \neq 0$.

Л = $ \frac{2}{\sin\alpha} $

В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна его правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

$\sin \frac{5\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} - \sin 3\alpha \cos \frac{\pi}{3} - \frac{1}{4}$

в произведение и найдите его значение при $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

1. Преобразование выражения в произведение

Данное выражение: $E = \sin\frac{5\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2} - \sin 3\alpha \cos\frac{\pi}{3} - \frac{1}{4}$.

Сначала преобразуем первое слагаемое, используя формулу произведения синуса на косинус $\sin x \cos y = \frac{1}{2}[\sin(x+y) + \sin(x-y)]$.

$\sin\frac{5\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\left[\sin\left(\frac{5\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}\right) + \sin\left(\frac{5\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2}\right)\right] = \frac{1}{2}(\sin\frac{6\alpha}{2} + \sin\frac{4\alpha}{2}) = \frac{1}{2}(\sin 3\alpha + \sin 2\alpha)$.

Далее, вычислим значение $\cos\frac{\pi}{3}$.

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$E = \frac{1}{2}(\sin 3\alpha + \sin 2\alpha) - \sin 3\alpha \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$.

Раскроем скобки и упростим выражение:

$E = \frac{1}{2}\sin 3\alpha + \frac{1}{2}\sin 2\alpha - \frac{1}{2}\sin 3\alpha - \frac{1}{4}$.

Слагаемые с $\sin 3\alpha$ взаимно уничтожаются:

$E = \frac{1}{2}\sin 2\alpha - \frac{1}{4}$.

Чтобы преобразовать это выражение в произведение, вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$E = \frac{1}{2}(\sin 2\alpha - \frac{1}{2})$.

Представим $\frac{1}{2}$ в виде синуса известного угла: $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$.

$E = \frac{1}{2}\left(\sin 2\alpha - \sin\frac{\pi}{6}\right)$.

Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$:

$E = \frac{1}{2} \cdot \left[2 \cos\left(\frac{2\alpha + \frac{\pi}{6}}{2}\right) \sin\left(\frac{2\alpha - \frac{\pi}{6}}{2}\right)\right] = \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{12}\right)$.

Ответ: Выражение в виде произведения: $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{12}\right) \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{12}\right)$.

2. Нахождение значения выражения при $\alpha = \frac{\pi}{4}$

Подставим значение $\alpha = \frac{\pi}{4}$ в полученное в результате преобразования выражение:

$E = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}\right) \sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12}\right)$.

Вычислим значения аргументов тригонометрических функций:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.

$\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.

Теперь подставим вычисленные углы в выражение для $E$:

$E = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

Используя известные значения тригонометрических функций:

$E = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: Значение выражения при $\alpha = \frac{\pi}{4}$ равно $\frac{1}{4}$.

П.11. Вычислите:

a) $\sin\left(\arccos0 - \operatorname{arctg}\sqrt{3} - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\right);$

б) $\cos\left(\arccos(-1) + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arcctg}\sqrt{3}\right);$

в) $\operatorname{tg}\left(\operatorname{arcctg}(-1) - \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

г) $\sin(\arccos(-1) - \arcsin1 + \operatorname{arcctg}0).$

а) Для вычисления значения выражения $\sin(\arccos0 - \operatorname{arctg}\sqrt{3} - \arcsin(-\frac{1}{2}))$ найдем значения каждой обратной тригонометрической функции в скобках.По определениям обратных тригонометрических функций имеем:$\arccos0 = \frac{\pi}{2}$, поскольку $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ и $\frac{\pi}{2}$ принадлежит области значений арккосинуса $[0, \pi]$.$\operatorname{arctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, поскольку $\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{3}$ принадлежит области значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, поскольку $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит области значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.Подставляем вычисленные значения в исходное выражение:$\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6})) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6})$.Приводим дроби к общему знаменателю 6:$\sin(\frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{3\pi - 2\pi + \pi}{6}) = \sin(\frac{2\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.Значение $\sin(\frac{\pi}{3})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Для вычисления значения выражения $\cos(\arccos(-1) + \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \operatorname{arcctg}\sqrt{3})$ найдем значения каждой обратной тригонометрической функции.$\arccos(-1) = \pi$, поскольку $\cos\pi = -1$ и $\pi \in [0, \pi]$.$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$, поскольку $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $-\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.$\operatorname{arcctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{6}$, поскольку $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{6} \in (0, \pi)$.Подставляем найденные значения в выражение:$\cos(\pi + (-\frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6})$.Приводим к общему знаменателю 6:$\cos(\frac{6\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{6\pi - 2\pi + \pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6})$.Значение $\cos(\frac{5\pi}{6})$ равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) Для вычисления значения выражения $\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg}(-1) - \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2})$ найдем значения аркфункций.$\operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$, поскольку $\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4} = -1$ и $\frac{3\pi}{4} \in (0, \pi)$.$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$, поскольку $\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{5\pi}{6} \in [0, \pi]$.$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$, поскольку $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.Подставляем значения в исходное выражение:$\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3})$.Приводим дроби к общему знаменателю 12:$\operatorname{tg}(\frac{9\pi}{12} - \frac{10\pi}{12} + \frac{4\pi}{12}) = \operatorname{tg}(\frac{9\pi - 10\pi + 4\pi}{12}) = \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{12}) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})$.Значение $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})$ равно $1$.
Ответ: $1$.

г) Для вычисления значения выражения $\sin(\arccos(-1) - \arcsin1 + \operatorname{arcctg}0)$ найдем значения аркфункций.$\arccos(-1) = \pi$, поскольку $\cos\pi = -1$ и $\pi \in [0, \pi]$.$\arcsin1 = \frac{\pi}{2}$, поскольку $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ и $\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.$\operatorname{arcctg}0 = \frac{\pi}{2}$, поскольку $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2} = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in (0, \pi)$.Подставляем значения в выражение:$\sin(\pi - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = \sin(\pi)$.Значение $\sin(\pi)$ равно $0$.
Ответ: $0$.

Решите уравнение:

П.12. a) $2\sin x \cos x - 2\sin x - \cos x + 1 = 0;$

б) $2\sin x - \sqrt{3}\tan x - 2\sqrt{3}\cos x + 3 = 0;$

в) $2\cos x - \cot x - 2\sin x + 1 = 0;$

г) $2\sin x \cos x + \sqrt{2}\cos x - \sqrt{2}\sin x - 1 = 0.$

а) $2\sin x \cos x - 2\sin x - \cos x + 1 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:
$(2\sin x \cos x - 2\sin x) - (\cos x - 1) = 0$
Вынесем общие множители за скобки:
$2\sin x (\cos x - 1) - 1(\cos x - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(\cos x - 1)$:
$(\cos x - 1)(2\sin x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
1) $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$
$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2\pi k, \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\sin x - \sqrt{3}\tg x - 2\sqrt{3}\cos x + 3 = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Заменим $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ :
$2\sin x - \sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x} - 2\sqrt{3}\cos x + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 0$
Сгруппируем члены уравнения:
$(2\sin x - 2\sqrt{3}\cos x) - (\sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 0$
$2(\sin x - \sqrt{3}\cos x) - \frac{\sqrt{3}}{\cos x}(\sin x - \sqrt{3}\cos x) = 0$
Вынесем общий множитель $(\sin x - \sqrt{3}\cos x)$:
$(\sin x - \sqrt{3}\cos x)(2 - \frac{\sqrt{3}}{\cos x}) = 0$
Получаем два уравнения:
1) $\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0$ (разделим на $\cos x \neq 0$)
$\tg x = \sqrt{3}$
$x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. (удовлетворяет ОДЗ)
2) $2 - \frac{\sqrt{3}}{\cos x} = 0 \implies 2\cos x = \sqrt{3} \implies \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (удовлетворяет ОДЗ)
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

в) $2\cos x - \ctg x - 2\sin x + 1 = 0$

ОДЗ: $\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Заменим $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$:
$2\cos x - \frac{\cos x}{\sin x} - 2\sin x + 1 = 0$
Сгруппируем члены уравнения:
$(2\cos x - 2\sin x) - (\frac{\cos x}{\sin x} - 1) = 0$
$2(\cos x - \sin x) - \frac{\cos x - \sin x}{\sin x} = 0$
Вынесем общий множитель $(\cos x - \sin x)$:
$(\cos x - \sin x)(2 - \frac{1}{\sin x}) = 0$
Получаем два уравнения:
1) $\cos x - \sin x = 0$ (разделим на $\cos x$, т.к. если $\cos x = 0$, то и $\sin x=0$, что невозможно)
$1 - \tg x = 0 \implies \tg x = 1$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. (удовлетворяет ОДЗ)
2) $2 - \frac{1}{\sin x} = 0 \implies 2\sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2}$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (удовлетворяет ОДЗ)
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

г) $2\sin x \cos x + \sqrt{2}\cos x - \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$

Сгруппируем члены уравнения:
$(2\sin x \cos x + \sqrt{2}\cos x) - (\sqrt{2}\sin x + 1) = 0$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$\cos x(2\sin x + \sqrt{2}) - 1(\sqrt{2}\sin x + 1) = 0$
Заметим, что $2\sin x + \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}\sin x + 1)$. Подставим это в уравнение:
$\cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{ \sqrt{2}} (2\sin x + \sqrt{2}) - (\sqrt{2}\sin x + 1) = 0$
$\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x (2\sqrt{2}\sin x + 2) - (\sqrt{2}\sin x + 1) = 0$ ... этот путь сложен. Попробуем иначе.
В выражении $2\sin x + \sqrt{2}$ вынесем $2$, а в $\sqrt{2}\sin x + 1$ вынесем $\sqrt{2}$:
$2\cos x(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}) - \sqrt{2}(\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$
$2\cos x(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}) - \sqrt{2}(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0$
Вынесем общий множитель $(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2})$:
$(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2})(2\cos x - \sqrt{2}) = 0$
Получаем два уравнения:
1) $\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \implies \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ (или $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$), где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $2\cos x - \sqrt{2} = 0 \implies \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединим все решения: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

П.13.

a) $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0;$

б) $4\sin^2 \frac{x}{2} + 8\cos\frac{x}{2} - 7 = 0;$

в) $4\sin^2 x - 2\cos^2 x - \sin x = 0;$

г) $2\sin^2 3x - 7\sin 3x - 4 = 0.$

а) $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, тогда уравнение примет вид:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1) $\cos x = 1$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = \frac{1}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $2\pi k, \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $4\sin^2 \frac{x}{2} + 8\cos \frac{x}{2} - 7 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, чтобы выразить $\sin^2 \frac{x}{2}$ через $\cos^2 \frac{x}{2}$.

$\sin^2 \frac{x}{2} = 1 - \cos^2 \frac{x}{2}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4(1 - \cos^2 \frac{x}{2}) + 8\cos \frac{x}{2} - 7 = 0$

$4 - 4\cos^2 \frac{x}{2} + 8\cos \frac{x}{2} - 7 = 0$

$-4\cos^2 \frac{x}{2} + 8\cos \frac{x}{2} - 3 = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства:

$4\cos^2 \frac{x}{2} - 8\cos \frac{x}{2} + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \cos \frac{x}{2}$. Уравнение примет вид:

$4t^2 - 8t + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{8 + \sqrt{16}}{8} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

$t_2 = \frac{8 - \sqrt{16}}{8} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Возвращаемся к переменной $x$.

1) $\cos \frac{x}{2} = \frac{3}{2}$. Так как область значений функции косинуса $[-1, 1]$, а $\frac{3}{2} > 1$, это уравнение не имеет решений.

2) $\cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$.

Решением является серия корней: $\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Умножим на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в) $4\sin^2 x - 2\cos^2 x - \sin x = 0$

Используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции $\sin x$.

$4\sin^2 x - 2(1 - \sin^2 x) - \sin x = 0$

$4\sin^2 x - 2 + 2\sin^2 x - \sin x = 0$

$6\sin^2 x - \sin x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$:

$6t^2 - t - 2 = 0$

Найдем корни. Дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{12} = \frac{1 + 7}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{12} = \frac{1 - 7}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$

Возвращаемся к переменной $x$. Оба корня принадлежат области значений синуса $[-1, 1]$.

1) $\sin x = \frac{2}{3}$

Решением является серия корней: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x = -\frac{1}{2}$

Решением является серия корней: $x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-1)^n \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n, (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

г) $2\sin^2 3x - 7\sin 3x - 4 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\sin 3x$. Сделаем замену $t = \sin 3x$.

$2t^2 - 7t - 4 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{4} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$t_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{4} = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Возвращаемся к переменной $x$.

1) $\sin 3x = 4$. Так как $4 > 1$, это уравнение не имеет решений.

2) $\sin 3x = -\frac{1}{2}$.

Решением является серия корней: $3x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.