Номер 11, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 11, страница 6.

П.11. Вычислите:

a) $\sin\left(\arccos0 - \operatorname{arctg}\sqrt{3} - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\right);$

б) $\cos\left(\arccos(-1) + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arcctg}\sqrt{3}\right);$

в) $\operatorname{tg}\left(\operatorname{arcctg}(-1) - \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right);$

г) $\sin(\arccos(-1) - \arcsin1 + \operatorname{arcctg}0).$

а) Для вычисления значения выражения $\sin(\arccos0 - \operatorname{arctg}\sqrt{3} - \arcsin(-\frac{1}{2}))$ найдем значения каждой обратной тригонометрической функции в скобках.По определениям обратных тригонометрических функций имеем:$\arccos0 = \frac{\pi}{2}$, поскольку $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ и $\frac{\pi}{2}$ принадлежит области значений арккосинуса $[0, \pi]$.$\operatorname{arctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, поскольку $\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{3}$ принадлежит области значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, поскольку $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит области значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.Подставляем вычисленные значения в исходное выражение:$\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6})) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6})$.Приводим дроби к общему знаменателю 6:$\sin(\frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{3\pi - 2\pi + \pi}{6}) = \sin(\frac{2\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3})$.Значение $\sin(\frac{\pi}{3})$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Для вычисления значения выражения $\cos(\arccos(-1) + \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \operatorname{arcctg}\sqrt{3})$ найдем значения каждой обратной тригонометрической функции.$\arccos(-1) = \pi$, поскольку $\cos\pi = -1$ и $\pi \in [0, \pi]$.$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$, поскольку $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $-\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.$\operatorname{arcctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{6}$, поскольку $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{6} \in (0, \pi)$.Подставляем найденные значения в выражение:$\cos(\pi + (-\frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6})$.Приводим к общему знаменателю 6:$\cos(\frac{6\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{6\pi - 2\pi + \pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6})$.Значение $\cos(\frac{5\pi}{6})$ равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) Для вычисления значения выражения $\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg}(-1) - \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2})$ найдем значения аркфункций.$\operatorname{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}$, поскольку $\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4} = -1$ и $\frac{3\pi}{4} \in (0, \pi)$.$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}$, поскольку $\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{5\pi}{6} \in [0, \pi]$.$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$, поскольку $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.Подставляем значения в исходное выражение:$\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{4} - \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3})$.Приводим дроби к общему знаменателю 12:$\operatorname{tg}(\frac{9\pi}{12} - \frac{10\pi}{12} + \frac{4\pi}{12}) = \operatorname{tg}(\frac{9\pi - 10\pi + 4\pi}{12}) = \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{12}) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})$.Значение $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})$ равно $1$.
Ответ: $1$.

г) Для вычисления значения выражения $\sin(\arccos(-1) - \arcsin1 + \operatorname{arcctg}0)$ найдем значения аркфункций.$\arccos(-1) = \pi$, поскольку $\cos\pi = -1$ и $\pi \in [0, \pi]$.$\arcsin1 = \frac{\pi}{2}$, поскольку $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ и $\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.$\operatorname{arcctg}0 = \frac{\pi}{2}$, поскольку $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{2} = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in (0, \pi)$.Подставляем значения в выражение:$\sin(\pi - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = \sin(\pi)$.Значение $\sin(\pi)$ равно $0$.
Ответ: $0$.