Номер 9, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 9, страница 6.

П.9. Докажите тождество $\frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} \left( 1 + \frac{(1 - \cos \alpha)^2}{\sin^2 \alpha} \right) = \frac{2}{\sin \alpha}$.

П.9.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Обозначим левую часть как Л.

Л = $ \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} \left( 1 + \frac{(1 - \cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha} \right) $

Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $\sin^2\alpha$:

$ 1 + \frac{(1 - \cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{(1 - \cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + (1 - \cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha} $

Раскроем квадрат разности в числителе, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(1 - \cos\alpha)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \cos\alpha + \cos^2\alpha = 1 - 2\cos\alpha + \cos^2\alpha$.

Подставим результат в числитель дроби:

$ \sin^2\alpha + 1 - 2\cos\alpha + \cos^2\alpha $

Сгруппируем слагаемые и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$ (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 1 - 2\cos\alpha = 1 + 1 - 2\cos\alpha = 2 - 2\cos\alpha $

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$ 2(1 - \cos\alpha) $

Таким образом, выражение в скобках равно:

$ \frac{2(1 - \cos\alpha)}{\sin^2\alpha} $

Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в левую часть исходного тождества:

Л = $ \frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{2(1 - \cos\alpha)}{\sin^2\alpha} $

Перемножим числители и знаменатели дробей:

Л = $ \frac{2(1 + \cos\alpha)(1 - \cos\alpha)}{\sin\alpha \cdot \sin^2\alpha} $

В числителе применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$ (1 + \cos\alpha)(1 - \cos\alpha) = 1^2 - \cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $

Из основного тригонометрического тождества следует, что $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$. Подставим это в числитель:

Л = $ \frac{2\sin^2\alpha}{\sin\alpha \cdot \sin^2\alpha} = \frac{2\sin^2\alpha}{\sin^3\alpha} $

Сократим дробь на $\sin^2\alpha$. Это действие является корректным, так как область допустимых значений исходного выражения требует, чтобы $\sin\alpha \neq 0$.

Л = $ \frac{2}{\sin\alpha} $

В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна его правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.