Номер 13, страница 6, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 13, страница 6.

П.13.

a) $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0;$

б) $4\sin^2 \frac{x}{2} + 8\cos\frac{x}{2} - 7 = 0;$

в) $4\sin^2 x - 2\cos^2 x - \sin x = 0;$

г) $2\sin^2 3x - 7\sin 3x - 4 = 0.$

а) $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, тогда уравнение примет вид:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1) $\cos x = 1$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = \frac{1}{2}$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $2\pi k, \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

---

б) $4\sin^2 \frac{x}{2} + 8\cos \frac{x}{2} - 7 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, чтобы выразить $\sin^2 \frac{x}{2}$ через $\cos^2 \frac{x}{2}$.

$\sin^2 \frac{x}{2} = 1 - \cos^2 \frac{x}{2}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4(1 - \cos^2 \frac{x}{2}) + 8\cos \frac{x}{2} - 7 = 0$

$4 - 4\cos^2 \frac{x}{2} + 8\cos \frac{x}{2} - 7 = 0$

$-4\cos^2 \frac{x}{2} + 8\cos \frac{x}{2} - 3 = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства:

$4\cos^2 \frac{x}{2} - 8\cos \frac{x}{2} + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \cos \frac{x}{2}$. Уравнение примет вид:

$4t^2 - 8t + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{8 + \sqrt{16}}{8} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

$t_2 = \frac{8 - \sqrt{16}}{8} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Возвращаемся к переменной $x$.

1) $\cos \frac{x}{2} = \frac{3}{2}$. Так как область значений функции косинуса $[-1, 1]$, а $\frac{3}{2} > 1$, это уравнение не имеет решений.

2) $\cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$.

Решением является серия корней: $\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Умножим на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

---

в) $4\sin^2 x - 2\cos^2 x - \sin x = 0$

Используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции $\sin x$.

$4\sin^2 x - 2(1 - \sin^2 x) - \sin x = 0$

$4\sin^2 x - 2 + 2\sin^2 x - \sin x = 0$

$6\sin^2 x - \sin x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$:

$6t^2 - t - 2 = 0$

Найдем корни. Дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{12} = \frac{1 + 7}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{12} = \frac{1 - 7}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$

Возвращаемся к переменной $x$. Оба корня принадлежат области значений синуса $[-1, 1]$.

1) $\sin x = \frac{2}{3}$

Решением является серия корней: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x = -\frac{1}{2}$

Решением является серия корней: $x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-1)^n \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n, (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

---

г) $2\sin^2 3x - 7\sin 3x - 4 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\sin 3x$. Сделаем замену $t = \sin 3x$.

$2t^2 - 7t - 4 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{4} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$t_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{4} = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Возвращаемся к переменной $x$.

1) $\sin 3x = 4$. Так как $4 > 1$, это уравнение не имеет решений.

2) $\sin 3x = -\frac{1}{2}$.

Решением является серия корней: $3x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-1)^{n+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.