Номер 32, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 32, страница 9.

П.32. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции $y = x^3 + 5x^2 - 8x + 4$.

Для того чтобы найти промежутки монотонности и экстремумы функции $y = x^3 + 5x^2 - 8x + 4$, необходимо исследовать ее первую производную.

1. Нахождение производной и критических точек.

Область определения данной функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Находим первую производную функции $y(x)$:

$y' = (x^3 + 5x^2 - 8x + 4)' = 3x^2 + 10x - 8$

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Так как $y'(x)$ — это многочлен, она существует при любых $x$. Найдем точки, в которых $y'(x) = 0$.

$3x^2 + 10x - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196$

$\sqrt{D} = 14$

Находим корни уравнения:

$x_1 = \frac{-10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$

$x_2 = \frac{-10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Мы получили две критические точки: $x = -4$ и $x = \frac{2}{3}$.

2. Промежутки монотонности

Критические точки $x = -4$ и $x = \frac{2}{3}$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -4)$, $(-4; \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов, чтобы найти промежутки возрастания ($y' > 0$) и убывания ($y' < 0$) функции.

— В интервале $(-\infty; -4)$: возьмем $x = -5$. $y'(-5) = 3(-5)^2 + 10(-5) - 8 = 3 \cdot 25 - 50 - 8 = 75 - 58 = 17 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.

— В интервале $(-4; \frac{2}{3})$: возьмем $x = 0$. $y'(0) = 3(0)^2 + 10(0) - 8 = -8 < 0$. Следовательно, на этом интервале функция убывает.

— В интервале $(\frac{2}{3}; +\infty)$: возьмем $x = 1$. $y'(1) = 3(1)^2 + 10(1) - 8 = 3 + 10 - 8 = 5 > 0$. Следовательно, на этом интервале функция возрастает.

Поскольку функция непрерывна на всей числовой оси, мы можем включить концы интервалов в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -4]$ и $[\frac{2}{3}, +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-4, \frac{2}{3}]$.

3. Экстремумы

Точки экстремума — это точки, в которых производная меняет свой знак.

— В точке $x = -4$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума. Найдем значение функции в этой точке:

$y_{max} = y(-4) = (-4)^3 + 5(-4)^2 - 8(-4) + 4 = -64 + 5(16) + 32 + 4 = -64 + 80 + 32 + 4 = 52$

— В точке $x = \frac{2}{3}$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Найдем значение функции в этой точке:

$y_{min} = y(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 + 5(\frac{2}{3})^2 - 8(\frac{2}{3}) + 4 = \frac{8}{27} + 5(\frac{4}{9}) - \frac{16}{3} + 4$

Приводя к общему знаменателю 27, получаем:

$y_{min} = \frac{8}{27} + \frac{20 \cdot 3}{27} - \frac{16 \cdot 9}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27} = \frac{8 + 60 - 144 + 108}{27} = \frac{32}{27}$

Ответ: точка максимума $x_{max} = -4$, значение в точке максимума $y_{max} = 52$; точка минимума $x_{min} = \frac{2}{3}$, значение в точке минимума $y_{min} = \frac{32}{27}$.