Номер 1.6, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.6, страница 11.

1.6. a) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x - 3);$

б) $(x^3 + 2x - 3)(x^3 - 2x + 3);$

в) $(x^3 - 3x - 7)(x^2 + 7x - 1);$

г) $(x^4 - 3x^2 - 3x + 3)(x^3 + x^2 - x).$

а) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x - 3)$

Для решения этого примера удобно использовать метод введения новой переменной. Заметим, что в обеих скобках есть одинаковое выражение $x^2 - 3x$.

Пусть $y = x^2 - 3x$. Тогда исходное выражение примет вид:

$(y + 1)(y - 3)$

Раскроем скобки:

$y \cdot y - 3y + 1 \cdot y - 1 \cdot 3 = y^2 - 2y - 3$

Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2 - 3x$ вместо $y$:

$(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 3x + (3x)^2 - 2x^2 + 6x - 3 = x^4 - 6x^3 + 9x^2 - 2x^2 + 6x - 3$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$x^4 - 6x^3 + (9x^2 - 2x^2) + 6x - 3 = x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 3$

Ответ: $x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 3$

б) $(x^3 + 2x - 3)(x^3 - 2x + 3)$

В этом примере можно применить формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Для этого сгруппируем слагаемые в скобках:

$(x^3 + (2x - 3))(x^3 - (2x - 3))$

Это неверная группировка. Правильная группировка будет выглядеть так:

$(x^3 - (3 - 2x))(x^3 + (3 - 2x))$

Здесь $a = x^3$ и $b = 3 - 2x$. Применим формулу разности квадратов:

$(x^3)^2 - (3 - 2x)^2$

Возведем в степень:

$x^6 - (3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2x + (2x)^2) = x^6 - (9 - 12x + 4x^2)$

Раскроем скобки и запишем многочлен в стандартном виде:

$x^6 - 9 + 12x - 4x^2 = x^6 - 4x^2 + 12x - 9$

Ответ: $x^6 - 4x^2 + 12x - 9$

в) $(x^3 - 3x - 7)(x^2 + 7x - 1)$

Здесь нет очевидных упрощений, поэтому выполним умножение многочленов "в лоб", умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$x^3(x^2 + 7x - 1) - 3x(x^2 + 7x - 1) - 7(x^2 + 7x - 1)$

Раскроем скобки:

$(x^5 + 7x^4 - x^3) + (-3x^3 - 21x^2 + 3x) + (-7x^2 - 49x + 7)$

$x^5 + 7x^4 - x^3 - 3x^3 - 21x^2 + 3x - 7x^2 - 49x + 7$

Приведем подобные слагаемые:

$x^5 + 7x^4 + (-x^3 - 3x^3) + (-21x^2 - 7x^2) + (3x - 49x) + 7$

$x^5 + 7x^4 - 4x^3 - 28x^2 - 46x + 7$

Ответ: $x^5 + 7x^4 - 4x^3 - 28x^2 - 46x + 7$

г) $(x^4 - 3x^2 - 3x + 3)(x^3 + x^2 - x)$

Как и в предыдущем примере, выполним прямое умножение многочленов. Для удобства можно вынести общий множитель $x$ из второй скобки:

$(x^4 - 3x^2 - 3x + 3) \cdot x(x^2 + x - 1) = x \cdot [(x^4 - 3x^2 - 3x + 3)(x^2 + x - 1)]$

Сначала перемножим многочлены в скобках:

$x^4(x^2 + x - 1) - 3x^2(x^2 + x - 1) - 3x(x^2 + x - 1) + 3(x^2 + x - 1)$

$(x^6 + x^5 - x^4) + (-3x^4 - 3x^3 + 3x^2) + (-3x^3 - 3x^2 + 3x) + (3x^2 + 3x - 3)$

$x^6 + x^5 - x^4 - 3x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x^3 - 3x^2 + 3x + 3x^2 + 3x - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$x^6 + x^5 + (-x^4 - 3x^4) + (-3x^3 - 3x^3) + (3x^2 - 3x^2 + 3x^2) + (3x + 3x) - 3$

$x^6 + x^5 - 4x^4 - 6x^3 + 3x^2 + 6x - 3$

Теперь умножим полученный многочлен на $x$:

$x(x^6 + x^5 - 4x^4 - 6x^3 + 3x^2 + 6x - 3) = x^7 + x^6 - 4x^5 - 6x^4 + 3x^3 + 6x^2 - 3x$

Ответ: $x^7 + x^6 - 4x^5 - 6x^4 + 3x^3 + 6x^2 - 3x$