Номер 1.7, страница 11, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.7, страница 11.

1.7. a) $(1 + x + x^2 + x^3)^2$;

б) $(1 - x + x^2 - x^3 + x^4)^2$.

а)

Для решения задачи $(1 + x + x^2 + x^3)^2$ необходимо возвести многочлен в квадрат. Это можно сделать, умножив многочлен на себя, но в данном случае удобнее применить метод группировки.

Сгруппируем слагаемые внутри скобок:

$(1 + x + x^2 + x^3)^2 = ((1 + x) + (x^2 + x^3))^2$

Вынесем общий множитель $x^2$ из второй группы:

$((1 + x) + x^2(1 + x))^2$

Теперь вынесем общий множитель $(1+x)$ за скобки:

$((1 + x)(1 + x^2))^2$

По свойству степени произведения, $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$(1 + x)^2 (1 + x^2)^2$

Теперь воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ для каждого множителя:

$(1 + 2x + x^2)(1 + 2x^2 + x^4)$

Осталось перемножить два полученных многочлена:

$1 \cdot (1 + 2x^2 + x^4) + 2x \cdot (1 + 2x^2 + x^4) + x^2 \cdot (1 + 2x^2 + x^4)$

Раскрываем скобки:

$(1 + 2x^2 + x^4) + (2x + 4x^3 + 2x^5) + (x^2 + 2x^4 + x^6)$

Приводим подобные слагаемые, группируя их по степеням $x$:

$1 + 2x + (2x^2 + x^2) + 4x^3 + (x^4 + 2x^4) + 2x^5 + x^6$

В результате получаем:

$1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 3x^4 + 2x^5 + x^6$

Ответ: $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 3x^4 + 2x^5 + x^6$.

б)

Для решения задачи $(1 - x + x^2 - x^3 + x^4)^2$ необходимо раскрыть скобки. Самый прямой способ — это умножить многочлен сам на себя.

$(1 - x + x^2 - x^3 + x^4) \cdot (1 - x + x^2 - x^3 + x^4)$

Выполним умножение, последовательно умножая каждый член первого многочлена на второй многочлен:

$1 \cdot (1 - x + x^2 - x^3 + x^4) = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4$

$-x \cdot (1 - x + x^2 - x^3 + x^4) = -x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5$

$x^2 \cdot (1 - x + x^2 - x^3 + x^4) = x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6$

$-x^3 \cdot (1 - x + x^2 - x^3 + x^4) = -x^3 + x^4 - x^5 + x^6 - x^7$

$x^4 \cdot (1 - x + x^2 - x^3 + x^4) = x^4 - x^5 + x^6 - x^7 + x^8$

Теперь сложим все полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$(1 - x + x^2 - x^3 + x^4) + (-x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5) + (x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6) + (-x^3 + x^4 - x^5 + x^6 - x^7) + (x^4 - x^5 + x^6 - x^7 + x^8)$

Сгруппируем члены по степеням $x$ и сложим их коэффициенты:

$1 + (-1 - 1)x + (1 + 1 + 1)x^2 + (-1 - 1 - 1 - 1)x^3 + (1 + 1 + 1 + 1 + 1)x^4 + (-1 - 1 - 1 - 1)x^5 + (1 + 1 + 1)x^6 + (-1 - 1)x^7 + x^8$

Собрав все вместе, получаем итоговый многочлен:

$1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - 4x^5 + 3x^6 - 2x^7 + x^8$

Ответ: $1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - 4x^5 + 3x^6 - 2x^7 + x^8$.