Номер 1.5, страница 10, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.5, страница 10.

1.5. a) $(x^2 - 3x + 2)^2 - (x^2 - x)^2;$

б) $(x+1)(x^7 - x^6 + ... - x^2 + x - 1);$

в) $(2 - x)^3 + (x - 1)^3;$

г) $(x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1).$

а)

Данное выражение представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2$, которую можно разложить по формуле $(a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = x^2 - 3x + 2$ и $b = x^2 - x$.

Найдем разность $(a - b)$:

$(x^2 - 3x + 2) - (x^2 - x) = x^2 - 3x + 2 - x^2 + x = -2x + 2$.

Найдем сумму $(a + b)$:

$(x^2 - 3x + 2) + (x^2 - x) = x^2 - 3x + 2 + x^2 - x = 2x^2 - 4x + 2$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$(-2x + 2)(2x^2 - 4x + 2)$

Вынесем общие множители из каждой скобки для упрощения:

$-2(x - 1) \cdot 2(x^2 - 2x + 1) = -4(x - 1)(x - 1)^2 = -4(x - 1)^3$.

Раскроем скобки, чтобы получить многочлен в стандартном виде:

$-4(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = -4x^3 + 12x^2 - 12x + 4$.

Ответ: $-4x^3 + 12x^2 - 12x + 4$.

б)

Воспользуемся формулой сокращённого умножения для разности степеней $a^n - b^n$ при четном $n$:

$a^n - b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots - b^{n-1})$

Рассмотрим случай, когда $a = x$, $b = 1$ и $n=8$. Правая часть формулы примет вид:

$(x+1)(x^{8-1} - x^{8-2}\cdot1 + x^{8-3}\cdot1^2 - \dots - 1^{8-1}) = (x+1)(x^7 - x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1)$.

Это выражение в точности совпадает с выражением из условия задачи.

Следовательно, исходное выражение равно левой части формулы, то есть $a^n - b^n$:

$x^8 - 1^8 = x^8 - 1$.

Ответ: $x^8 - 1$.

в)

Это выражение является суммой кубов вида $a^3 + b^3$, которая раскладывается по формуле $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Здесь $a = 2 - x$ и $b = x - 1$.

Найдем первый множитель $(a + b)$:

$(2 - x) + (x - 1) = 2 - x + x - 1 = 1$.

Теперь найдем второй множитель $(a^2 - ab + b^2)$:

$a^2 = (2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2$.

$b^2 = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$.

$ab = (2 - x)(x - 1) = 2x - 2 - x^2 + x = -x^2 + 3x - 2$.

Подставим эти части в выражение $a^2 - ab + b^2$:

$(4 - 4x + x^2) - (-x^2 + 3x - 2) + (x^2 - 2x + 1) = 4 - 4x + x^2 + x^2 - 3x + 2 + x^2 - 2x + 1 = 3x^2 - 9x + 7$.

Результатом является произведение двух множителей:

$1 \cdot (3x^2 - 9x + 7) = 3x^2 - 9x + 7$.

Ответ: $3x^2 - 9x + 7$.

г)

Данное произведение можно упростить, используя формулу разности квадратов $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

Сгруппируем слагаемые в каждом множителе. Пусть $A = x^5 + x^3 + x$ и $B = x^4 + x^2 + 1$.

Тогда первый множитель: $(x^5 + x^3 + x) - (x^4 + x^2 + 1) = A - B$.

Второй множитель: $(x^5 + x^3 + x) + (x^4 + x^2 + 1) = A + B$.

Таким образом, произведение равно $A^2 - B^2$.

Найдем $A^2$:

$A^2 = (x^5 + x^3 + x)^2 = (x^5)^2 + (x^3)^2 + x^2 + 2(x^5)(x^3) + 2(x^5)(x) + 2(x^3)(x) = x^{10} + x^6 + x^2 + 2x^8 + 2x^6 + 2x^4 = x^{10} + 2x^8 + 3x^6 + 2x^4 + x^2$.

Найдем $B^2$:

$B^2 = (x^4 + x^2 + 1)^2 = (x^4)^2 + (x^2)^2 + 1^2 + 2(x^4)(x^2) + 2(x^4)(1) + 2(x^2)(1) = x^8 + x^4 + 1 + 2x^6 + 2x^4 + 2x^2 = x^8 + 2x^6 + 3x^4 + 2x^2 + 1$.

Теперь вычтем $B^2$ из $A^2$:

$A^2 - B^2 = (x^{10} + 2x^8 + 3x^6 + 2x^4 + x^2) - (x^8 + 2x^6 + 3x^4 + 2x^2 + 1) = x^{10} + (2-1)x^8 + (3-2)x^6 + (2-3)x^4 + (1-2)x^2 - 1 = x^{10} + x^8 + x^6 - x^4 - x^2 - 1$.

Ответ: $x^{10} + x^8 + x^6 - x^4 - x^2 - 1$.