Номер 29, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 29, страница 8.

П.29. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = 2x^2$, которая параллельна секущей, проходящей через точки графика с абсциссами $x = -1$ и $x = 2$.

Для того чтобы написать уравнение касательной, нам необходимо найти ее угловой коэффициент и координаты точки касания.

1. Нахождение углового коэффициента секущей

По условию, касательная параллельна секущей, проходящей через точки графика функции $y = 2x^2$ с абсциссами $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Сначала найдем угловой коэффициент секущей.
Найдем координаты точек на графике:
Если $x_1 = -1$, то $y_1 = 2(-1)^2 = 2$. Первая точка $A(-1, 2)$.
Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 2(2)^2 = 8$. Вторая точка $B(2, 8)$.
Угловой коэффициент $k_{сек}$ прямой, проходящей через две точки, вычисляется по формуле:
$k_{сек} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 2}{2 - (-1)} = \frac{6}{3} = 2$.

2. Нахождение точки касания

Угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ в точке $x_0$ равен значению производной функции $y'(x_0)$.
Поскольку касательная параллельна секущей, $k_{кас} = k_{сек} = 2$.
Найдем производную функции $y = 2x^2$:
$y' = (2x^2)' = 4x$.
Теперь найдем абсциссу точки касания $x_0$, приравняв значение производной к угловому коэффициенту:
$y'(x_0) = 4x_0 = 2$
$x_0 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0$ в исходную функцию:
$y_0 = 2(x_0)^2 = 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$.

3. Составление уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k_{кас}$ имеет вид: $y - y_0 = k_{кас}(x - x_0)$.
Подставим найденные значения: точку касания $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ и угловой коэффициент $k_{кас} = 2$.
$y - \frac{1}{2} = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)$
$y - \frac{1}{2} = 2x - 1$
$y = 2x - 1 + \frac{1}{2}$
$y = 2x - \frac{1}{2}$

Ответ: $y = 2x - \frac{1}{2}$.