Номер 23, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 23, страница 8.

П.23.

Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства $f(x) - f'(x) < 0$, если $f(x) = 3x^2 + 18x + 8$.

Для решения задачи требуется найти наибольшее целое число $x$, удовлетворяющее неравенству $f(x) - f'(x) < 0$.

1. Найдём производную функции $f(x)$.

Дана функция $f(x) = 3x^2 + 18x + 8$.

Ее производная $f'(x)$ находится по правилам дифференцирования степенной функции и суммы функций:

$f'(x) = (3x^2 + 18x + 8)' = (3x^2)' + (18x)' + (8)' = 3 \cdot 2x + 18 \cdot 1 + 0 = 6x + 18$.

2. Составим и решим неравенство.

Подставим выражения для $f(x)$ и $f'(x)$ в исходное неравенство $f(x) - f'(x) < 0$:

$(3x^2 + 18x + 8) - (6x + 18) < 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 18x + 8 - 6x - 18 < 0$

$3x^2 + 12x - 10 < 0$

3. Найдем корни квадратного трехчлена.

Чтобы решить квадратичное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 + 12x - 10 = 0$ с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a = 3$, $b = 12$, $c = -10$.

$D = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 144 + 120 = 264$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{264}}{2 \cdot 3} = \frac{-12 \pm \sqrt{4 \cdot 66}}{6} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{66}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{66}}{3}$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \frac{-6 - \sqrt{66}}{3}$ и $x_2 = \frac{-6 + \sqrt{66}}{3}$.

4. Определим интервал, удовлетворяющий неравенству.

Графиком функции $y = 3x^2 + 12x - 10$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3 > 0$). Следовательно, значения функции отрицательны между ее корнями.

Решением неравенства $3x^2 + 12x - 10 < 0$ является интервал $(x_1, x_2)$, то есть $x \in (\frac{-6 - \sqrt{66}}{3}, \frac{-6 + \sqrt{66}}{3})$.

5. Найдем наибольшее целое решение.

Оценим значения корней, чтобы определить, какие целые числа попадают в интервал. Мы знаем, что $8^2=64$ и $9^2=81$, следовательно, $8 < \sqrt{66} < 9$.

Оценим $x_1 = \frac{-6 - \sqrt{66}}{3}$:

$-6 - 9 < -6 - \sqrt{66} < -6 - 8 \implies -15 < -6 - \sqrt{66} < -14$

$\frac{-15}{3} < \frac{-6 - \sqrt{66}}{3} < \frac{-14}{3} \implies -5 < x_1 < -4.66...$

Оценим $x_2 = \frac{-6 + \sqrt{66}}{3}$:

$-6 + 8 < -6 + \sqrt{66} < -6 + 9 \implies 2 < -6 + \sqrt{66} < 3$

$\frac{2}{3} < \frac{-6 + \sqrt{66}}{3} < \frac{3}{3} \implies 0.66... < x_2 < 1$

Итак, решение неравенства — это интервал, приблизительно равный $(-4.67, 0.67)$.

Целые числа, входящие в этот интервал: -4, -3, -2, -1, 0.

Наибольшее целое число из этого множества равно 0.

Ответ: 0.