Номер 21, страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 21, страница 8.

П.21. Известно, что значение производной функции $y = f^3(x)$ в точке $x = 2$ равно 27, а значение производной функции $y = \frac{1}{f(x)}$ в точке $x = 2$ равно -1. Найдите $f'(2)$.

Для решения задачи запишем предоставленные условия в виде математических уравнений, используя правила дифференцирования.

1. Дано, что производная функции $y = f^3(x)$ в точке $x = 2$ равна 27.
Найдем производную этой функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$y' = (f^3(x))' = 3 \cdot f^2(x) \cdot f'(x)$.
Подставив $x = 2$, получаем:
$y'(2) = 3 \cdot f^2(2) \cdot f'(2)$.
Поскольку по условию $y'(2) = 27$, мы можем составить первое уравнение:
$3 \cdot f^2(2) \cdot f'(2) = 27$.
Разделив обе части на 3, получим:
$f^2(2) \cdot f'(2) = 9$.

2. Дано, что производная функции $y = \frac{1}{f(x)}$ в точке $x = 2$ равна -1.
Найдем производную этой функции. Ее можно рассматривать как $y = (f(x))^{-1}$ или использовать правило дифференцирования частного:
$y' = \left(\frac{1}{f(x)}\right)' = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}$.
Подставив $x = 2$, получаем:
$y'(2) = -\frac{f'(2)}{f^2(2)}$.
Поскольку по условию $y'(2) = -1$, мы можем составить второе уравнение:
$-\frac{f'(2)}{f^2(2)} = -1$.
Умножив обе части на -1, получим:
$\frac{f'(2)}{f^2(2)} = 1$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $f'(2)$ и $f^2(2)$:
$\begin{cases} f^2(2) \cdot f'(2) = 9 \\ \frac{f'(2)}{f^2(2)} = 1 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $f'(2)$:
$f'(2) = f^2(2)$.
Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
$f^2(2) \cdot (f^2(2)) = 9$.
$(f^2(2))^2 = 9$.
$f^4(2) = 9$.
Отсюда находим $f^2(2)$. Так как квадрат величины $f(2)$ не может быть отрицательным, то $f^2(2) = \sqrt{9} = 3$.

Зная, что $f^2(2) = 3$, мы можем найти искомое значение $f'(2)$ из соотношения $f'(2) = f^2(2)$.
$f'(2) = 3$.

Ответ: 3.