Номер 30, страница 9, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

Задачи на повторение. ч. 2 - номер 30, страница 9.

П.30.

При каком значении $a$ прямая $y = ax - 7$ касается параболы $y = 2x^2 - 5x + 1$?

Условие касания прямой и параболы заключается в том, что они имеют ровно одну общую точку. Координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям. Чтобы найти абсциссу $x$ этой точки, приравняем правые части уравнений прямой $y = ax - 7$ и параболы $y = 2x^2 - 5x + 1$.

$ax - 7 = 2x^2 - 5x + 1$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:
$2x^2 - 5x - ax + 1 + 7 = 0$
$2x^2 - (5 + a)x + 8 = 0$

Это квадратное уравнение имеет единственное решение для $x$ только в том случае, если его дискриминант $D$ равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.
В нашем случае коэффициенты равны:
$A = 2$
$B = -(5 + a)$
$C = 8$

Подставим эти значения в формулу дискриминанта и приравняем его к нулю:
$D = (-(5 + a))^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 0$
$(5 + a)^2 - 64 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:
$(5 + a)^2 = 64$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:
$5 + a = 8$ или $5 + a = -8$

Найдем значения $a$ для каждого случая:
1) $5 + a = 8 \implies a = 8 - 5 \implies a = 3$
2) $5 + a = -8 \implies a = -8 - 5 \implies a = -13$

Следовательно, существует два значения параметра $a$, при которых прямая касается параболы.
Ответ: $a = 3$ и $a = -13$.