Страница 14, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Сформулируйте теорему о тождественности двух многочленов от одной переменной.

Теорема о тождественности двух многочленов от одной переменной устанавливает условия, при которых два многочлена считаются равными для любых значений переменной. Существует несколько эквивалентных формулировок этой теоремы.

Формулировка через коэффициенты

Эта формулировка является основной и наиболее часто используемой. Она гласит:
Два многочлена от одной переменной тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

Более формально, пусть даны два многочлена $P(x)$ и $Q(x)$:
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$
$Q(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_0$
Тождество $P(x) \equiv Q(x)$ (то есть равенство, верное для всех значений $x$) выполняется тогда и только тогда, когда $n = m$ и $a_i = b_i$ для всех $i$ от $0$ до $n$.

Важным следствием из этой теоремы является то, что многочлен тождественно равен нулю ($P(x) \equiv 0$) тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю ($a_n = a_{n-1} = \dots = a_0 = 0$).

Формулировка через значения в точках

Эта формулировка предоставляет критерий тождественности, основанный на значениях, которые многочлены принимают. Она гласит:
Два многочлена, степень каждого из которых не превышает $n$, тождественно равны тогда и только тогда, когда их значения совпадают по крайней мере в $n+1$ различных точках.

То есть, если для многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ (где $\deg P(x) \le n$ и $\deg Q(x) \le n$) существуют $n+1$ различных чисел $x_0, x_1, \dots, x_n$ таких, что $P(x_k) = Q(x_k)$ для всех $k = 0, 1, \dots, n$, то из этого следует, что $P(x) \equiv Q(x)$.

Эта формулировка основывается на фундаментальном свойстве многочленов: ненулевой многочлен степени $n$ имеет не более $n$ различных корней. Рассматривая разность $R(x) = P(x) - Q(x)$, мы видим, что ее степень не превышает $n$. Однако $R(x)$ обращается в ноль в $n+1$ точке ($x_0, \dots, x_n$), что означает, что он имеет $n+1$ корень. Это возможно только если $R(x)$ является нулевым многочленом, т.е. $R(x) \equiv 0$. А это, в свою очередь, означает, что $P(x) \equiv Q(x)$.

Ответ: Два многочлена от одной переменной $P(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ и $Q(x) = b_m x^m + \dots + b_0$ тождественно равны тогда и только тогда, когда их степени равны ($n=m$) и коэффициенты при одинаковых степенях переменной также равны ($a_i = b_i$ для всех $i = 0, \dots, n$). Альтернативно, два многочлена степени не выше $n$ тождественно равны, если их значения совпадают в $n+1$ различных точках.

2. Дано тождество

$x^3 - 5x^2 + 2x + 3 = ax^3 + bx^2 + (a+1)x + b^2 - 12$

Найдите значения параметров $a$ и $b$.

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Данное тождество имеет вид:

$x^3 - 5x^2 + 2x + 3 = ax^3 + bx^2 + (a + 1)x + b^2 - 12$

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях $x$ в левой и правой частях уравнения.

Для степени $x^3$:

$1 = a$

Для степени $x^2$:

$-5 = b$

Для степени $x^1$:

$2 = a + 1$

Для свободных членов (степень $x^0$):

$3 = b^2 - 12$

Мы получили систему уравнений для нахождения параметров $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a = 1 \\ b = -5 \\ a + 1 = 2 \\ b^2 - 12 = 3 \end{cases} $

Из первого уравнения системы сразу находим значение $a = 1$. Проверим это значение, подставив его в третье уравнение:

$1 + 1 = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, следовательно, $a = 1$ удовлетворяет обоим условиям.

Из второго уравнения системы находим значение $b = -5$. Проверим это значение, подставив его в четвертое уравнение:

$(-5)^2 - 12 = 3$

$25 - 12 = 3$

$13 = 3$

Полученное равенство является ложным. Это означает, что условия для параметра $b$, полученные из коэффициентов при $x^2$ и из свободных членов, противоречат друг другу. Следовательно, система уравнений не имеет решения.

Таким образом, не существует таких значений параметров $a$ и $b$, при которых данное равенство является тождеством. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

Ответ: Не существует таких значений $a$ и $b$, при которых данное равенство является тождеством.

3. Сформулируйте теорему о делении с остатком многочлена на многочлен.

Теорема о делении с остатком для многочленов является фундаментальным результатом в алгебре и формулируется следующим образом.

Для любых двух многочленов $A(x)$ (делимое) и $B(x)$ (делитель) с коэффициентами из некоторого поля (например, поля действительных чисел $\mathbb{R}$ или комплексных чисел $\mathbb{C}$), где $B(x)$ не является нулевым многочленом ($B(x) \not\equiv 0$), существует единственная пара многочленов $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток) таких, что выполняется тождественное равенство:

$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$

При этом степень многочлена-остатка $R(x)$ строго меньше степени многочлена-делителя $B(x)$, либо остаток $R(x)$ является нулевым многочленом. Формально это условие записывается так:

$\text{deg}(R(x)) < \text{deg}(B(x))$ или $R(x) \equiv 0$

Ключевые аспекты и пояснения к теореме:

1. Существование и единственность. Теорема утверждает не только то, что такие частное и остаток существуют для любой пары многочленов (с ненулевым делителем), но и то, что они определены однозначно. Это позволяет говорить о делении с остатком как о корректно определённой операции.

2. Условие на степень остатка. Это важнейшая часть теоремы, которая и обеспечивает единственность результата. Если бы степень $R(x)$ могла быть равна или больше степени $B(x)$, то можно было бы продолжить процесс деления, "извлекая" из $R(x)$ еще слагаемые, кратные $B(x)$, что привело бы к неоднозначности частного и остатка. Этот принцип полностью аналогичен делению целых чисел, где остаток всегда неотрицателен и строго меньше модуля делителя.

3. Деление нацело. Важный частный случай возникает, когда остаток $R(x)$ оказывается нулевым многочленом ($R(x) \equiv 0$). Тогда говорят, что многочлен $A(x)$ делится на многочлен $B(x)$ нацело (или без остатка). Равенство в этом случае принимает вид $A(x) = B(x) \cdot Q(x)$. Это означает, что $B(x)$ является делителем (или множителем) многочлена $A(x)$.

4. Алгоритм нахождения. Конструктивным доказательством существования, а также практическим способом нахождения частного $Q(x)$ и остатка $R(x)$ является алгоритм деления многочленов "столбиком" (или "уголком"), который работает аналогично алгоритму деления столбиком для целых чисел.

Ответ: Для любых двух многочленов $A(x)$ и $B(x)$, где $B(x)$ не является нулевым многочленом, существует единственная пара многочленов $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток), такая что справедливо тождество $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$, причём степень остатка $R(x)$ строго меньше степени делителя $B(x)$, либо $R(x)$ является нулевым многочленом.

4. Сформулируйте теорему Безу.

Теорема Безу, также известная как теорема об остатке, является одной из фундаментальных теорем в алгебре многочленов. Она устанавливает простую связь между значением многочлена в точке и остатком от деления этого многочлена на линейный двучлен.

Формулировка теоремы: Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - a$ равен значению этого многочлена в точке $x = a$, то есть равен $P(a)$.

Доказательство: При делении любого многочлена $P(x)$ на ненулевой многочлен $D(x)$ можно получить частное $Q(x)$ и остаток $R(x)$, так что выполняется равенство: $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$ При этом степень многочлена-остатка $R(x)$ всегда строго меньше степени многочлена-делителя $D(x)$.

В нашем случае делителем является линейный двучлен $D(x) = x - a$, степень которого равна 1. Следовательно, степень остатка $R(x)$ должна быть меньше 1, то есть быть равной 0. Это означает, что остаток является константой (числом), которую мы можем обозначить просто как $R$. Таким образом, равенство деления принимает вид: $P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + R$

Это равенство справедливо для любого значения переменной $x$. Подставим в него значение $x = a$: $P(a) = (a - a) \cdot Q(a) + R$ $P(a) = 0 \cdot Q(a) + R$ $P(a) = R$ Это и доказывает теорему: остаток $R$ действительно равен значению многочлена $P(x)$ в точке $a$.

Следствие из теоремы Безу (Теорема о корне многочлена): Число $a$ является корнем многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда многочлен $P(x)$ делится на двучлен $x - a$ без остатка (нацело). Это прямо следует из теоремы:

• Если $a$ — корень, то по определению $P(a) = 0$. По теореме Безу, остаток $R = P(a)$, значит $R = 0$.
• Если $P(x)$ делится на $x - a$ нацело, то остаток $R = 0$. По теореме Безу, $P(a) = R$, значит $P(a) = 0$, и $a$ является корнем многочлена.

Пример применения: Найдем остаток от деления многочлена $P(x) = x^4 - 3x^3 + 6x - 4$ на двучлен $x-2$. В данном случае $a = 2$. Чтобы найти остаток, не нужно выполнять деление столбиком. Достаточно вычислить значение $P(2)$: $R = P(2) = (2)^4 - 3(2)^3 + 6(2) - 4 = 16 - 3 \cdot 8 + 12 - 4 = 16 - 24 + 12 - 4 = 0$. Остаток равен 0. Согласно следствию, это означает, что $x=2$ является корнем многочлена $P(x)$, и он делится на $x-2$ нацело.

Ответ: Теорема Безу гласит, что остаток $R$ от деления многочлена $P(x)$ на линейный двучлен $x - a$ равен значению этого многочлена в точке $a$, то есть $R = P(a)$.

5. Найдите остаток от деления многочлена $2x^5 + x^4 - 3x^2 + x + 1$ на двучлен $x - 1$.

Для нахождения остатка от деления многочлена $P(x) = 2x^5 + x^4 - 3x^2 + x + 1$ на двучлен $x - 1$, удобнее всего воспользоваться теоремой Безу (или теоремой об остатке).

Согласно этой теореме, остаток $R$ от деления многочлена $P(x)$ на двучлен вида $(x - a)$ равен значению этого многочлена в точке $a$, то есть $R = P(a)$.

В нашем случае делитель — это двучлен $x - 1$. Сравнивая его с общей формой $x - a$, мы видим, что $a = 1$.

Следовательно, чтобы найти остаток, нам необходимо вычислить значение исходного многочлена при $x = 1$.

Подставим $x = 1$ в многочлен $P(x) = 2x^5 + x^4 - 3x^2 + x + 1$:

$P(1) = 2(1)^5 + (1)^4 - 3(1)^2 + 1 + 1$

Теперь выполним вычисления:

$P(1) = 2 \cdot 1 + 1 - 3 \cdot 1 + 1 + 1$

$P(1) = 2 + 1 - 3 + 1 + 1$

$P(1) = 3 - 3 + 2$

$P(1) = 2$

Таким образом, остаток от деления равен 2.

Ответ: $2$

6. Не производя деления, выясните, делится ли многочлен $x^3 + 2x^2 + 7x + 6$ на двучлен $x + 1$.

Для решения этой задачи воспользуемся следствием из теоремы Безу. Оно гласит, что многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x - a)$ без остатка тогда и только тогда, когда число $a$ является корнем многочлена, то есть $P(a) = 0$.

В данном случае нам нужно проверить, делится ли многочлен $P(x) = x^3 + 2x^2 + 7x + 6$ на двучлен $x + 1$.

Представим двучлен $x + 1$ в виде $x - a$. Получим $x - (-1)$, откуда следует, что $a = -1$.

Теперь необходимо проверить, равно ли нулю значение многочлена $P(x)$ при $x = -1$. Подставим это значение в многочлен:

$P(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + 7(-1) + 6$

Выполним вычисления:

$P(-1) = -1 + 2 \cdot 1 - 7 + 6 = -1 + 2 - 7 + 6 = 0$

Так как $P(-1) = 0$, то, согласно следствию из теоремы Безу, многочлен $x^3 + 2x^2 + 7x + 6$ делится на двучлен $x + 1$ без остатка.

Ответ: да, делится.

7. Известно, что многочлен $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ имеет целочисленные корни. Какие из указанных ниже чисел могут быть корнями многочлена: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6?

Для того чтобы определить, какие из указанных чисел являются корнями многочлена $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, воспользуемся теоремой о целых корнях многочлена с целыми коэффициентами. Согласно этой теореме, любой целый корень такого многочлена должен быть делителем его свободного члена.

Свободный член нашего многочлена равен 6. Его целые делители: $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Следовательно, только эти числа могут быть целыми корнями. Из предложенного в задаче списка (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, 6, -6) мы можем сразу исключить те, которые не являются делителями числа 6. Это числа 4, -4, 5, -5. Они не могут быть корнями.

Теперь проверим остальные числа из списка, подставляя их в многочлен. Число $x_0$ является корнем, если $P(x_0) = 0$.

1
Проверяем $x=1$:
$P(1) = 1^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$.
Да, 1 является корнем.

-1
Проверяем $x=-1$:
$P(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - 5(-1) + 6 = -1 - 2 + 5 + 6 = 8 \neq 0$.
Нет, -1 не является корнем.

2
Проверяем $x=2$:
$P(2) = 2^3 - 2(2)^2 - 5(2) + 6 = 8 - 8 - 10 + 6 = -4 \neq 0$.
Нет, 2 не является корнем.

-2
Проверяем $x=-2$:
$P(-2) = (-2)^3 - 2(-2)^2 - 5(-2) + 6 = -8 - 8 + 10 + 6 = 0$.
Да, -2 является корнем.

3
Проверяем $x=3$:
$P(3) = 3^3 - 2(3)^2 - 5(3) + 6 = 27 - 18 - 15 + 6 = 0$.
Да, 3 является корнем.

-3
Проверяем $x=-3$:
$P(-3) = (-3)^3 - 2(-3)^2 - 5(-3) + 6 = -27 - 18 + 15 + 6 = -24 \neq 0$.
Нет, -3 не является корнем.

6
Проверяем $x=6$:
$P(6) = 6^3 - 2(6)^2 - 5(6) + 6 = 216 - 72 - 30 + 6 = 120 \neq 0$.
Нет, 6 не является корнем.

-6
Проверяем $x=-6$:
$P(-6) = (-6)^3 - 2(-6)^2 - 5(-6) + 6 = -216 - 72 + 30 + 6 = -252 \neq 0$.
Нет, -6 не является корнем.

Таким образом, из всех предложенных чисел корнями многочлена являются 1, -2 и 3.
Ответ: 1, -2, 3.

1.25. a) Докажите, что многочлен $p(x) = x^3 + 5x^2 + 3x - 1$ делится без остатка на многочлен $q(x) = 2x^2 + 8x - 2$.

б) Докажите, что многочлен $t(x) = -5x^2 + 4x - 4$ является делителем многочлена $l(x) = 5x^4 - 9x^3 - 2x^2 + 4x - 8$.

а)

Чтобы доказать, что многочлен $p(x) = x^3 + 5x^2 + 3x - 1$ делится без остатка на многочлен $q(x) = 2x^2 + 8x - 2$, выполним деление многочленов столбиком.

Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^3$) на старший член делителя ($2x^2$), чтобы найти первый член частного: $\frac{x^3}{2x^2} = \frac{1}{2}x$

Шаг 2: Умножаем первый член частного ($\frac{1}{2}x$) на делитель $q(x)$: $\frac{1}{2}x \cdot (2x^2 + 8x - 2) = x^3 + 4x^2 - x$

Шаг 3: Вычитаем полученный результат из делимого $p(x)$: $(x^3 + 5x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 4x^2 - x) = x^2 + 4x - 1$

Шаг 4: Делим старший член нового делимого ($x^2$) на старший член делителя ($2x^2$), чтобы найти второй член частного: $\frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$

Шаг 5: Умножаем второй член частного ($\frac{1}{2}$) на делитель $q(x)$: $\frac{1}{2} \cdot (2x^2 + 8x - 2) = x^2 + 4x - 1$

Шаг 6: Вычитаем полученный результат из остатка от предыдущего шага: $(x^2 + 4x - 1) - (x^2 + 4x - 1) = 0$

Остаток от деления равен 0. Следовательно, многочлен $p(x)$ делится на многочлен $q(x)$ без остатка. Частное равно $\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

Ответ: Утверждение доказано, так как при делении многочлена $p(x)$ на $q(x)$ остаток равен нулю.

б)

Чтобы доказать, что многочлен $t(x) = -5x^2 + 4x - 4$ является делителем многочлена $l(x) = 5x^4 - 9x^3 - 2x^2 + 4x - 8$, нужно показать, что $l(x)$ делится на $t(x)$ без остатка. Выполним деление столбиком.

Шаг 1: Делим старший член делимого ($5x^4$) на старший член делителя ($-5x^2$): $\frac{5x^4}{-5x^2} = -x^2$

Шаг 2: Умножаем первый член частного ($-x^2$) на делитель $t(x)$: $-x^2 \cdot (-5x^2 + 4x - 4) = 5x^4 - 4x^3 + 4x^2$

Шаг 3: Вычитаем результат из делимого $l(x)$: $(5x^4 - 9x^3 - 2x^2 + 4x - 8) - (5x^4 - 4x^3 + 4x^2) = -5x^3 - 6x^2 + 4x - 8$

Шаг 4: Делим старший член нового делимого ($-5x^3$) на старший член делителя ($-5x^2$): $\frac{-5x^3}{-5x^2} = x$

Шаг 5: Умножаем второй член частного ($x$) на делитель $t(x)$: $x \cdot (-5x^2 + 4x - 4) = -5x^3 + 4x^2 - 4x$

Шаг 6: Вычитаем результат из остатка от предыдущего шага: $(-5x^3 - 6x^2 + 4x - 8) - (-5x^3 + 4x^2 - 4x) = -10x^2 + 8x - 8$

Шаг 7: Делим старший член нового делимого ($-10x^2$) на старший член делителя ($-5x^2$): $\frac{-10x^2}{-5x^2} = 2$

Шаг 8: Умножаем третий член частного ($2$) на делитель $t(x)$: $2 \cdot (-5x^2 + 4x - 4) = -10x^2 + 8x - 8$

Шаг 9: Вычитаем результат из остатка от предыдущего шага: $(-10x^2 + 8x - 8) - (-10x^2 + 8x - 8) = 0$

Остаток от деления равен 0. Это означает, что $l(x)$ делится на $t(x)$ нацело, а значит $t(x)$ является делителем $l(x)$. Частное равно $-x^2 + x + 2$.

Ответ: Утверждение доказано, так как при делении многочлена $l(x)$ на $t(x)$ остаток равен нулю, что означает, что $t(x)$ является делителем $l(x)$.

1.26. При каких значениях параметров $a$ и $b$:

a) многочлен $p(x) = x^4 - 3x^3 + 3x^2 + ax + b$ делится без остатка на многочлен $t(x) = x^2 - 3x + 2;

б) многочлен $p(x) = x^4 - 2x^3 + ax + 2$ делится без остатка на многочлен $t(x) = x^2 + x + b?

а) Для того чтобы многочлен $p(x) = x^4 - 3x^3 + 3x^2 + ax + b$ делился на многочлен $t(x) = x^2 - 3x + 2$ без остатка, необходимо, чтобы корни многочлена $t(x)$ были также и корнями многочлена $p(x)$.

Найдем корни многочлена $t(x)$, решив уравнение:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Теперь подставим эти значения в многочлен $p(x)$ и приравняем результат к нулю.

Для $x = 1$:

$p(1) = 1^4 - 3(1)^3 + 3(1)^2 + a(1) + b = 0$

$1 - 3 + 3 + a + b = 0$

$1 + a + b = 0$

$a + b = -1$

Для $x = 2$:

$p(2) = 2^4 - 3(2)^3 + 3(2)^2 + a(2) + b = 0$

$16 - 3(8) + 3(4) + 2a + b = 0$

$16 - 24 + 12 + 2a + b = 0$

$4 + 2a + b = 0$

$2a + b = -4$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a + b = -1 \\ 2a + b = -4 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(2a + b) - (a + b) = -4 - (-1)$

$a = -3$

Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение:

$-3 + b = -1$

$b = 2$

Ответ: $a = -3, b = 2$.

б) В данном случае находить корни многочлена $t(x) = x^2 + x + b$ неудобно, так как они зависят от параметра $b$. Воспользуемся методом деления многочленов в столбик. Многочлен $p(x)$ делится на $t(x)$ без остатка, если остаток от деления равен нулю.

Выполним деление многочлена $p(x) = x^4 - 2x^3 + 0x^2 + ax + 2$ на $t(x) = x^2 + x + b$.

В результате деления получаем частное $q(x) = x^2 - 3x + (3-b)$ и остаток $R(x) = (a + 4b - 3)x + (b^2 - 3b + 2)$.

Для того чтобы деление было без остатка, остаток $R(x)$ должен быть равен нулю для всех $x$. Это возможно только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю.

Приравниваем коэффициенты остатка к нулю и получаем систему уравнений:

$\begin{cases} a + 4b - 3 = 0 \\ b^2 - 3b + 2 = 0 \end{cases}$

Сначала решим второе уравнение относительно $b$:

$b^2 - 3b + 2 = 0$

Это квадратное уравнение, корни которого $b_1 = 1$ и $b_2 = 2$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $b = 1$.

Подставим это значение в первое уравнение системы:

$a + 4(1) - 3 = 0$

$a + 1 = 0$

$a = -1$

Таким образом, первая пара значений: $a = -1, b = 1$.

Случай 2: $b = 2$.

Подставим это значение в первое уравнение системы:

$a + 4(2) - 3 = 0$

$a + 8 - 3 = 0$

$a + 5 = 0$

$a = -5$

Таким образом, вторая пара значений: $a = -5, b = 2$.

Ответ: $a = -1, b = 1$ или $a = -5, b = 2$.

1.27. Для многочленов $f(x)$ и $p(x)$ найдите многочлены $q(x)$ и $r(x)$ такие, что $f(x) = p(x) \cdot q(x) + r(x)$ и либо степень $r(x)$ меньше степени $p(x)$, либо $r(x)$ является нуль-многочленом:

$f(x)$: $3x^4 - 2x^3 + 7x - 3$
$p(x)$: $x^2 - 3x - 2$

$f(x)$: $x^2 - 3x - 2$
$p(x)$: $3x^4 - 2x^3 + 7x - 3$

$f(x)$: $12x^7 - 3x^5 + 6x^4 - 9x^2 + 33$
$p(x)$: $4x^7 - x^5 + 2x^4 - 3x^2 + 11$

$f(x)$: $4x^7 - x^5 + 2x^4 - 3x^2 + 11$
$p(x)$: $12x^7 - 3x^5 + 6x^4 - 9x^2 + 33$

$f(x)$: $x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 5x - 19$
$p(x)$: $x - 1$

$f(x)$: $x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 5x - 19$
$p(x)$: $x + 1$

$f(x)$: $x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 5x - 19$
$p(x)$: $7x - 7$

$f(x)$: $x^3 - 5x + 3$
$p(x)$: $3x - 1$

$f(x)$: $3x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 7x^2 + 2x - 1$
$p(x)$: $3x - 1$

Для $f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 7x - 3$ и $p(x) = x^2 - 3x - 2$

Для нахождения частного $q(x)$ и остатка $r(x)$ выполним деление многочлена $f(x)$ на $p(x)$ в столбик. Степень $f(x)$ равна 4, степень $p(x)$ равна 2, поэтому деление возможно.

 3x² + 7x + 27 ____________________x²-3x-2 | 3x⁴ - 2x³ + 0x² + 7x - 3 -(3x⁴ - 9x³ - 6x²) ____________________ 7x³ + 6x² + 7x -(7x³ - 21x² - 14x) ____________________ 27x² + 21x - 3 -(27x² - 81x - 54) ____________________ 102x + 51

Таким образом, частное $q(x) = 3x^2 + 7x + 27$, а остаток $r(x) = 102x + 51$. Степень остатка $r(x)$ (равная 1) меньше степени делителя $p(x)$ (равной 2), что удовлетворяет условию.

Ответ: $q(x) = 3x^2 + 7x + 27$, $r(x) = 102x + 51$.

Для $f(x) = x^2 - 3x - 2$ и $p(x) = 3x^4 - 2x^3 + 7x - 3$

В этом случае степень делимого $f(x)$ равна 2, а степень делителя $p(x)$ равна 4. Так как степень делимого меньше степени делителя ($\text{deg}(f) < \text{deg}(p)$), то частное равно нуль-многочлену, а остаток равен самому делимому.

$f(x) = 0 \cdot p(x) + f(x)$

Ответ: $q(x) = 0$, $r(x) = x^2 - 3x - 2$.

Для $f(x) = 12x^7 - 3x^5 + 6x^4 - 9x^2 + 33$ и $p(x) = 4x^7 - x^5 + 2x^4 - 3x^2 + 11$

Сравним коэффициенты многочленов $f(x)$ и $p(x)$. Заметим, что каждый коэффициент многочлена $f(x)$ ровно в 3 раза больше соответствующего коэффициента многочлена $p(x)$.

$f(x) = 12x^7 - 3x^5 + 6x^4 - 9x^2 + 33 = 3(4x^7 - x^5 + 2x^4 - 3x^2 + 11) = 3 \cdot p(x)$.

Следовательно, $f(x)$ делится на $p(x)$ нацело. Тогда $f(x) = 3 \cdot p(x) + 0$.

Ответ: $q(x) = 3$, $r(x) = 0$.

Для $f(x) = 4x^7 - x^5 + 2x^4 - 3x^2 + 11$ и $p(x) = 12x^7 - 3x^5 + 6x^4 - 9x^2 + 33$

Эта задача обратна предыдущей. Заметим, что $p(x) = 3 \cdot f(x)$. Отсюда можно выразить $f(x)$:

$f(x) = \frac{1}{3} p(x)$.

Следовательно, $f(x) = \frac{1}{3} \cdot p(x) + 0$.

Ответ: $q(x) = \frac{1}{3}$, $r(x) = 0$.

Для $f(x) = x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 5x - 19$ и $p(x) = x - 1$

Поскольку делитель является линейным двучленом вида $x-c$, для нахождения частного и остатка удобно использовать схему Горнера (или синтетическое деление) с $c=1$.

 | 1 -7 6 -5 -191 | 1 -6 0 -5--|-------------------- | 1 -6 0 -5 -24

Последнее число в нижней строке, -24, является остатком. Остальные числа являются коэффициентами частного. Степень частного на единицу меньше степени делимого, т.е. равна 3.

$q(x) = x^3 - 6x^2 + 0x - 5 = x^3 - 6x^2 - 5$.

$r(x) = -24$.

Ответ: $q(x) = x^3 - 6x^2 - 5$, $r(x) = -24$.

Для $f(x) = x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 5x - 19$ и $p(x) = x + 1$

Используем схему Горнера с $c=-1$, так как $p(x) = x - (-1)$.

 | 1 -7 6 -5 -19-1 | -1 8 -14 19---|---------------------- | 1 -8 14 -19 0

Остаток равен 0, что означает, что $f(x)$ делится на $p(x)$ нацело. Коэффициенты частного: 1, -8, 14, -19.

$q(x) = x^3 - 8x^2 + 14x - 19$.

$r(x) = 0$.

Ответ: $q(x) = x^3 - 8x^2 + 14x - 19$, $r(x) = 0$.

Для $f(x) = x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 5x - 19$ и $p(x) = 7x - 7$

Можно использовать результат деления $f(x)$ на $(x-1)$ из пятого пункта: $f(x) = (x-1)(x^3 - 6x^2 - 5) - 24$.

Делитель $p(x) = 7x - 7 = 7(x-1)$. Выразим $f(x)$ через $p(x)$:

$f(x) = \frac{7(x-1)}{7} (x^3 - 6x^2 - 5) - 24 = (7x-7) \cdot \frac{1}{7}(x^3 - 6x^2 - 5) - 24$.

Таким образом, $p(x) = 7x-7$, $q(x) = \frac{1}{7}(x^3 - 6x^2 - 5)$ и $r(x) = -24$.

Ответ: $q(x) = \frac{1}{7}x^3 - \frac{6}{7}x^2 - \frac{5}{7}$, $r(x) = -24$.

Для $f(x) = x^3 - 5x + 3$ и $p(x) = 3x - 1$

Выполним деление многочленов в столбик. $f(x) = x^3 + 0x^2 - 5x + 3$.

 (1/3)x² + (1/9)x - 44/27 ___________________________3x-1 | x³ + 0x² - 5x + 3 -(x³ - (1/3)x²) ___________________________ (1/3)x² - 5x -((1/3)x² - (1/9)x) ___________________________ (-44/9)x + 3 -((-44/9)x + 44/27) ___________________________ 37/27

Частное $q(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{9}x - \frac{44}{27}$, остаток $r(x) = \frac{37}{27}$.

Ответ: $q(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{9}x - \frac{44}{27}$, $r(x) = \frac{37}{27}$.

Для $f(x) = 3x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ и $p(x) = 3x - 1$

Выполним деление многочленов в столбик.

 x⁴ - (1/3)x³ + (8/9)x² - (55/27)x - 1/81 __________________________________________________3x-1 | 3x⁵ - 2x⁴ + 3x³ - 7x² + 2x - 1 -(3x⁵ - x⁴) __________________________________________________ -x⁴ + 3x³ -(-x⁴ + (1/3)x³) __________________________________________________ (8/3)x³ - 7x² -((8/3)x³ - (8/9)x²) __________________________________________________ (-55/9)x² + 2x -((-55/9)x² + (55/27)x) __________________________________________ (-1/27)x - 1 -((-1/27)x + 1/81) _______________________ -82/81

Частное $q(x) = x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{8}{9}x^2 - \frac{55}{27}x - \frac{1}{81}$, остаток $r(x) = -\frac{82}{81}$.

Ответ: $q(x) = x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{8}{9}x^2 - \frac{55}{27}x - \frac{1}{81}$, $r(x) = -\frac{82}{81}$.

1.28. Используя схему Горнера, выполните деление многочлена $f(x)$ на двучлен $x - a$ и заполните таблицу:

f(x) | a | Частное | Остаток ($f(a)$)

$x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 7x^2 + 2x - 1$ | 2 | |

$2x^4 + 7x^2 - 21x - 30$ | -1 | |

$x^7 - 2x^4 + 27x + 3$ | -2 | |

$3x^5 + 5x^4 + 11x^2 + 2x$ | 1 | |

f(x) = x⁵ - 2x⁴ + 3x³ - 7x² + 2x - 1, a = 2

Для деления многочлена $f(x) = x⁵ - 2x⁴ + 3x³ - 7x² + 2x - 1$ на двучлен $x - 2$, применим схему Горнера. В первой строке таблицы запишем коэффициенты многочлена $f(x)$, расположенные по убыванию степеней $x$. Это числа $1, -2, 3, -7, 2, -1$. Слева от них поместим значение $a = 2$.

В последней строке таблицы получены коэффициенты частного (все, кроме последнего числа) и остаток (последнее число).
Коэффициенты частного: $1, 0, 3, -1, 0$. Степень частного на единицу меньше степени исходного многочлена, то есть равна $5-1=4$.
Частное: $q(x) = 1 \cdot x⁴ + 0 \cdot x³ + 3 \cdot x² - 1 \cdot x + 0 = x⁴ + 3x² - x$.
Остаток: $r = f(2) = -1$.

Ответ: Частное: $x⁴ + 3x² - x$. Остаток: -1.

f(x) = 2x⁴ + 7x² - 21x - 30, a = -1

Для деления многочлена $f(x) = 2x⁴ + 7x² - 21x - 30$ на двучлен $x - (-1) = x+1$, применим схему Горнера. Коэффициент при $x³$ равен нулю. Коэффициенты многочлена: $2, 0, 7, -21, -30$. Значение $a = -1$.

Коэффициенты частного: $2, -2, 9, -30$. Степень частного равна $4-1=3$.
Частное: $q(x) = 2x³ - 2x² + 9x - 30$.
Остаток: $r = f(-1) = 0$.

Ответ: Частное: $2x³ - 2x² + 9x - 30$. Остаток: 0.

f(x) = x⁷ - 2x⁴ + 27x + 3, a = -2

Для деления многочлена $f(x) = x⁷ - 2x⁴ + 27x + 3$ на двучлен $x - (-2) = x+2$, применим схему Горнера. Коэффициенты при $x⁶, x⁵, x³, x²$ равны нулю. Коэффициенты многочлена: $1, 0, 0, -2, 0, 0, 27, 3$. Значение $a = -2$.

Коэффициенты частного: $1, -2, 4, -10, 20, -40, 107$. Степень частного равна $7-1=6$.
Частное: $q(x) = x⁶ - 2x⁵ + 4x⁴ - 10x³ + 20x² - 40x + 107$.
Остаток: $r = f(-2) = -211$.

Ответ: Частное: $x⁶ - 2x⁵ + 4x⁴ - 10x³ + 20x² - 40x + 107$. Остаток: -211.

f(x) = 3x⁵ + 5x⁴ + 11x² + 2x, a = 1

Для деления многочлена $f(x) = 3x⁵ + 5x⁴ + 11x² + 2x$ на двучлен $x - 1$, применим схему Горнера. Коэффициент при $x³$ и свободный член равны нулю. Коэффициенты многочлена: $3, 5, 0, 11, 2, 0$. Значение $a = 1$.

Коэффициенты частного: $3, 8, 8, 19, 21$. Степень частного равна $5-1=4$.
Частное: $q(x) = 3x⁴ + 8x³ + 8x² + 19x + 21$.
Остаток: $r = f(1) = 21$.

Ответ: Частное: $3x⁴ + 8x³ + 8x² + 19x + 21$. Остаток: 21.