Номер 1.38, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.38, страница 16.

1.38. Докажите, что многочлен не имеет действительных корней:

a) $x^6 - 5x^3 + 7;$

б) $x^4 - x + 2.$

а) Чтобы доказать, что многочлен $x^6 - 5x^3 + 7$ не имеет действительных корней, мы покажем, что он принимает только положительные значения при любом действительном $x$.

Сделаем замену переменной $y = x^3$. Так как $x$ — любое действительное число, $y$ также может принимать любое действительное значение. Многочлен принимает вид квадратного трехчлена от $y$: $y^2 - 5y + 7$.

Для того чтобы найти наименьшее значение этого выражения, выделим в нем полный квадрат:

$y^2 - 5y + 7 = \left(y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{5}{2} + \left(\frac{5}{2}\right)^2\right) - \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 7 = \left(y - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} + \frac{28}{4} = \left(y - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$

Квадрат любого действительного числа, $\left(y - \frac{5}{2}\right)^2$, является неотрицательной величиной, то есть $\left(y - \frac{5}{2}\right)^2 \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение всего выражения $\left(y - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$ равно $\frac{3}{4}$, и оно достигается при $y = \frac{5}{2}$.

Таким образом, для любого действительного $x$, $x^6 - 5x^3 + 7 = \left(x^3 - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}$. Поскольку $\frac{3}{4} > 0$, значение многочлена всегда положительно и никогда не равно нулю.

Ответ: Многочлен не имеет действительных корней.

б) Чтобы доказать, что многочлен $x^4 - x + 2$ не имеет действительных корней, мы покажем, что он принимает только положительные значения при любом действительном $x$.

Для этого преобразуем многочлен, представив его в виде суммы квадратов и положительного числа. Покажем, что справедливо следующее тождество:

$x^4 - x + 2 = \left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}$

Для проверки тождества раскроем скобки в правой части:

$\left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2} = \left(x^4 - 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) + \left(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) + \frac{3}{2}$

$= x^4 - x^2 + x^2 - x + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = x^4 - x + \frac{2}{4} + \frac{3}{2} = x^4 - x + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = x^4 - x + 2$

Поскольку правая часть тождественно равна левой, тождество доказано.

Теперь проанализируем выражение $\left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому:

$\left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$

$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$

Следовательно, их сумма, сложенная с положительным числом $\frac{3}{2}$, всегда будет положительной:

$x^4 - x + 2 = \left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2} \ge 0 + 0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Поскольку наименьшее значение многочлена равно $\frac{3}{2}$, что больше нуля, многочлен никогда не обращается в ноль.

Ответ: Многочлен не имеет действительных корней.