Номер 1.43, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.43, страница 17.

1.43. a) Найдите многочлен $p(x)$ второй степени, если $p(0) = -1,$

$p(1) = 2, p(2) = 3$.

б) Найдите приведённый многочлен $p(x)$ второй степени, если $p(-2) = 3, p(-2.5) = 8$.

а)

Многочлен второй степени имеет общий вид $p(x) = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$. Для нахождения коэффициентов $a$, $b$ и $c$ воспользуемся данными условиями.

1. Из условия $p(0) = -1$ следует:
$p(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$
Значит, $c = -1$. Теперь многочлен имеет вид $p(x) = ax^2 + bx - 1$.

2. Из условия $p(1) = 2$ следует:
$p(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 - 1 = a + b - 1 = 2$
Отсюда получаем первое уравнение: $a + b = 3$.

3. Из условия $p(2) = 3$ следует:
$p(2) = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 - 1 = 4a + 2b - 1 = 3$
Отсюда получаем второе уравнение: $4a + 2b = 4$, которое можно упростить, разделив на 2: $2a + b = 2$.

Теперь решим систему из двух линейных уравнений: $\begin{cases} a + b = 3 \\ 2a + b = 2 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(2a + b) - (a + b) = 2 - 3$
$a = -1$

Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение:
$-1 + b = 3$
$b = 4$

Итак, мы нашли все коэффициенты: $a = -1, b = 4, c = -1$. Подставляем их в общую формулу многочлена.

Ответ: $p(x) = -x^2 + 4x - 1$.

б)

Приведённый многочлен второй степени — это многочлен, у которого коэффициент при старшей степени (при $x^2$) равен 1. Его общий вид: $p(x) = x^2 + bx + c$. Нам необходимо найти коэффициенты $b$ и $c$.

1. Используем условие $p(-2) = 3$:
$p(-2) = (-2)^2 + b(-2) + c = 4 - 2b + c = 3$
Получаем первое уравнение: $-2b + c = -1$.

2. Используем условие $p(-2,5) = 8$:
$p(-2,5) = (-2,5)^2 + b(-2,5) + c = 6,25 - 2,5b + c = 8$
Получаем второе уравнение: $-2,5b + c = 8 - 6,25$, то есть $-2,5b + c = 1,75$.

Решим систему уравнений: $\begin{cases} -2b + c = -1 \\ -2,5b + c = 1,75 \end{cases}$
Выразим $c$ из первого уравнения: $c = 2b - 1$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$-2,5b + (2b - 1) = 1,75$
$-0,5b - 1 = 1,75$
$-0,5b = 2,75$
$b = \frac{2,75}{-0,5} = -5,5$

Теперь найдем $c$, подставив значение $b$ в выражение $c = 2b - 1$:
$c = 2(-5,5) - 1 = -11 - 1 = -12$

Мы нашли коэффициенты: $b = -5,5$ и $c = -12$. Подставляем их в формулу приведённого многочлена.

Ответ: $p(x) = x^2 - 5,5x - 12$.