Номер 1.47, страница 17, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.47, страница 17.

1.47. При каких значениях $b$ и $c$ многочлен $f(x) = x^4 + 8x^3 + bx^2 + cx + 1$ имеет два корня, каждый из которых второй кратности? Для каждой пары таких значений $b$ и $c$ найдите корни многочлена.

Если многочлен $f(x) = x^4 + 8x^3 + bx^2 + cx + 1$ имеет два корня, $x_1$ и $x_2$, каждый из которых второй кратности, то его можно представить в виде произведения: $f(x) = (x - x_1)^2(x - x_2)^2$

Раскроем скобки в этом выражении: $f(x) = ((x - x_1)(x - x_2))^2 = (x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)^2$
$f(x) = (x^2)^2 + (-(x_1 + x_2)x)^2 + (x_1x_2)^2 + 2(x^2)(-(x_1 + x_2)x) + 2(x^2)(x_1x_2) + 2(-(x_1 + x_2)x)(x_1x_2)$
$f(x) = x^4 - 2(x_1 + x_2)x^3 + ((x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_2)x^2 - 2x_1x_2(x_1 + x_2)x + (x_1x_2)^2$

Приравняем коэффициенты полученного многочлена и исходного многочлена $f(x) = x^4 + 8x^3 + bx^2 + cx + 1$. Это дает нам систему уравнений:

• При $x^3$: $-2(x_1 + x_2) = 8 \implies x_1 + x_2 = -4$
• При $x^2$: $b = (x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_2$
• При $x$: $c = -2x_1x_2(x_1 + x_2)$
• Свободный член: $(x_1x_2)^2 = 1$

Из последнего уравнения следует, что $x_1x_2 = 1$ или $x_1x_2 = -1$. Рассмотрим каждый из этих двух случаев.

Случай 1: $x_1x_2 = 1$

Имеем систему для определения корней $x_1$ и $x_2$:
$x_1 + x_2 = -4$
$x_1x_2 = 1$

По теореме Виета, $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x_1 + x_2)t + x_1x_2 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 1 = 0$.

Находим корни этого уравнения:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 12$
$t = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$
Следовательно, корни исходного многочлена: $x_1 = -2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = -2 - \sqrt{3}$.

Теперь вычисляем значения $b$ и $c$:
$b = (x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_2 = (-4)^2 + 2(1) = 16 + 2 = 18$
$c = -2x_1x_2(x_1 + x_2) = -2(1)(-4) = 8$

Ответ: при $b=18$ и $c=8$ корни многочлена: $x_1 = -2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = -2 - \sqrt{3}$.

Случай 2: $x_1x_2 = -1$

Имеем систему для определения корней $x_1$ и $x_2$:
$x_1 + x_2 = -4$
$x_1x_2 = -1$

Корни $x_1$ и $x_2$ являются решениями квадратного уравнения $t^2 - (x_1 + x_2)t + x_1x_2 = 0$, то есть $t^2 + 4t - 1 = 0$.

Находим корни этого уравнения:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$
$t = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$
Следовательно, корни исходного многочлена: $x_1 = -2 + \sqrt{5}$ и $x_2 = -2 - \sqrt{5}$.

Теперь вычисляем значения $b$ и $c$:
$b = (x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_2 = (-4)^2 + 2(-1) = 16 - 2 = 14$
$c = -2x_1x_2(x_1 + x_2) = -2(-1)(-4) = -8$

Ответ: при $b=14$ и $c=-8$ корни многочлена: $x_1 = -2 + \sqrt{5}$ и $x_2 = -2 - \sqrt{5}$.