Номер 2.2, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.2, страница 18.

2.2. a) $x^2 - 3xy + 2y^2$;

б) $7x^2 + 5xy - 12y^2$;

в) $5x^2 - 8xy + 3y^2$;

г) $7x^2 + 18xy + 8y^2$.

а) Для разложения на множители многочлена $x^2 - 3xy + 2y^2$ представим средний член $-3xy$ в виде суммы двух слагаемых $-xy$ и $-2xy$.

$x^2 - 3xy + 2y^2 = x^2 - xy - 2xy + 2y^2$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(x^2 - xy) - (2xy - 2y^2) = x(x - y) - 2y(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$:

$(x - y)(x - 2y)$

Ответ: $(x - y)(x - 2y)$

б) Чтобы разложить на множители выражение $7x^2 + 5xy - 12y^2$, рассмотрим его как квадратный трехчлен относительно переменной $x$. Для этого решим соответствующее квадратное уравнение $7x^2 + (5y)x - 12y^2 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (5y)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-12y^2) = 25y^2 + 336y^2 = 361y^2 = (19y)^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5y - 19y}{2 \cdot 7} = \frac{-24y}{14} = -\frac{12}{7}y$

$x_2 = \frac{-5y + 19y}{2 \cdot 7} = \frac{14y}{14} = y$

Теперь воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$7(x - (-\frac{12}{7}y))(x - y) = 7(x + \frac{12}{7}y)(x - y)$

Внесем множитель 7 в первую скобку:

$(7x + 12y)(x - y)$

Ответ: $(7x + 12y)(x - y)$

в) Для разложения на множители многочлена $5x^2 - 8xy + 3y^2$ представим средний член $-8xy$ в виде суммы слагаемых $-5xy$ и $-3xy$.

$5x^2 - 8xy + 3y^2 = 5x^2 - 5xy - 3xy + 3y^2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(5x^2 - 5xy) - (3xy - 3y^2) = 5x(x - y) - 3y(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$:

$(5x - 3y)(x - y)$

Ответ: $(5x - 3y)(x - y)$

г) Чтобы разложить на множители выражение $7x^2 + 18xy + 8y^2$, представим средний член $18xy$ в виде суммы $14xy + 4xy$.

$7x^2 + 18xy + 8y^2 = 7x^2 + 14xy + 4xy + 8y^2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(7x^2 + 14xy) + (4xy + 8y^2) = 7x(x + 2y) + 4y(x + 2y)$

Вынесем общий множитель $(x + 2y)$:

$(7x + 4y)(x + 2y)$

Ответ: $(7x + 4y)(x + 2y)$