Номер 2.9, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.9, страница 19.

2.9. a) $ (x + y + 2)^3 + x(2x + y - 1)^2 $;

б) $ (2x - y - z)^3 - 3xy(2x + 3y - z) $.

а) Чтобы решить данное выражение, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Выражение состоит из двух частей: $(x + y + 2)^3$ и $x(2x + y - 1)^2$.

1. Раскроем куб суммы трех слагаемых $(x + y + 2)^3$. Воспользуемся формулой куба суммы, сгруппировав слагаемые: $((x + y) + 2)^3$.
Формула куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Пусть $a = x+y$ и $b = 2$.
$((x+y) + 2)^3 = (x+y)^3 + 3(x+y)^2 \cdot 2 + 3(x+y) \cdot 2^2 + 2^3$
$= (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) + 6(x^2 + 2xy + y^2) + 12(x+y) + 8$
$= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + 6x^2 + 12xy + 6y^2 + 12x + 12y + 8$.

2. Раскроем вторую часть выражения $x(2x + y - 1)^2$. Сначала возведем в квадрат трехчлен $(2x + y - 1)$ по формуле $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$.
$(2x + y - 1)^2 = (2x)^2 + y^2 + (-1)^2 + 2(2x)(y) + 2(2x)(-1) + 2(y)(-1)$
$= 4x^2 + y^2 + 1 + 4xy - 4x - 2y$.
Теперь умножим результат на $x$:
$x(4x^2 + y^2 + 1 + 4xy - 4x - 2y) = 4x^3 + xy^2 + x + 4x^2y - 4x^2 - 2xy$.

3. Сложим результаты из пунктов 1 и 2 и приведем подобные слагаемые.
$(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + 6x^2 + 12xy + 6y^2 + 12x + 12y + 8) + (4x^3 + 4x^2y + xy^2 - 4x^2 - 2xy + x)$
Группируем по степеням:
- Слагаемые с $x^3$: $x^3 + 4x^3 = 5x^3$
- Слагаемые с $x^2y$: $3x^2y + 4x^2y = 7x^2y$
- Слагаемые с $xy^2$: $3xy^2 + xy^2 = 4xy^2$
- Слагаемые с $y^3$: $y^3$
- Слагаемые с $x^2$: $6x^2 - 4x^2 = 2x^2$
- Слагаемые с $xy$: $12xy - 2xy = 10xy$
- Слагаемые с $y^2$: $6y^2$
- Слагаемые с $x$: $12x + x = 13x$
- Слагаемые с $y$: $12y$
- Константа: $8$
Складывая все вместе, получаем:
$5x^3 + 7x^2y + 4xy^2 + y^3 + 2x^2 + 10xy + 6y^2 + 13x + 12y + 8$.

Ответ: $5x^3 + 7x^2y + 4xy^2 + y^3 + 2x^2 + 10xy + 6y^2 + 13x + 12y + 8$.

б) Для решения этого выражения также раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Выражение состоит из двух частей: $(2x - y - z)^3$ и $-3xy(2x + 3y - z)$.

1. Раскроем куб $(2x - y - z)^3$. Сгруппируем слагаемые: $((2x - y) - z)^3$.
Воспользуемся формулой куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Пусть $a = 2x-y$ и $b = z$.
$((2x-y) - z)^3 = (2x-y)^3 - 3(2x-y)^2z + 3(2x-y)z^2 - z^3$
Теперь раскроем степени двучлена $(2x-y)$:
$= ((2x)^3 - 3(2x)^2y + 3(2x)y^2 - y^3) - 3(4x^2 - 4xy + y^2)z + (6x - 3y)z^2 - z^3$
$= (8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3) - (12x^2z - 12xyz + 3y^2z) + (6xz^2 - 3yz^2) - z^3$
$= 8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3 - 12x^2z + 12xyz - 3y^2z + 6xz^2 - 3yz^2 - z^3$.

2. Раскроем вторую часть выражения $-3xy(2x + 3y - z)$, умножив $-3xy$ на каждый член в скобках:
$-3xy(2x + 3y - z) = (-3xy)(2x) + (-3xy)(3y) + (-3xy)(-z)$
$= -6x^2y - 9xy^2 + 3xyz$.

3. Сложим результаты из пунктов 1 и 2 и приведем подобные слагаемые.
$(8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3 - 12x^2z + 12xyz - 3y^2z + 6xz^2 - 3yz^2 - z^3) + (-6x^2y - 9xy^2 + 3xyz)$
Группируем подобные слагаемые:
- $x^3$: $8x^3$
- $x^2y$: $-12x^2y - 6x^2y = -18x^2y$
- $xy^2$: $6xy^2 - 9xy^2 = -3xy^2$
- $y^3$: $-y^3$
- $x^2z$: $-12x^2z$
- $xyz$: $12xyz + 3xyz = 15xyz$
- $y^2z$: $-3y^2z$
- $xz^2$: $6xz^2$
- $yz^2$: $-3yz^2$
- $z^3$: $-z^3$
Объединив все слагаемые, получаем итоговый многочлен:
$8x^3 - 18x^2y - 3xy^2 - y^3 - 12x^2z + 15xyz - 3y^2z + 6xz^2 - 3yz^2 - z^3$.

Ответ: $8x^3 - 18x^2y - 3xy^2 - y^3 - 12x^2z + 15xyz - 3y^2z + 6xz^2 - 3yz^2 - z^3$.