Номер 2.12, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.12, страница 19.

Решите уравнение относительно x:

2.12. a) $x^2 - 5xy + 4y^2 = 0;$

б) $5x^2 + 27xy + 10y^2 = 0.$

а) $x^2 - 5xy + 4y^2 = 0$

Данное уравнение является однородным уравнением второй степени. Решим его как квадратное уравнение относительно переменной $x$. В этом случае коэффициенты уравнения будут зависеть от $y$:

• $a = 1$
• $b = -5y$
• $c = 4y^2$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4y^2) = 25y^2 - 16y^2 = 9y^2$

Теперь найдем корни уравнения для $x$ по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-5y) \pm \sqrt{9y^2}}{2 \cdot 1} = \frac{5y \pm 3y}{2}$

Отсюда получаем два решения для $x$:

$x_1 = \frac{5y + 3y}{2} = \frac{8y}{2} = 4y$

$x_2 = \frac{5y - 3y}{2} = \frac{2y}{2} = y$

Ответ: $x_1 = y, x_2 = 4y$.

---

б) $5x^2 + 27xy + 10y^2 = 0$

Это также однородное уравнение второй степени. Решим его как квадратное уравнение относительно $x$. Коэффициенты:

• $a = 5$
• $b = 27y$
• $c = 10y^2$

Найдем дискриминант $D$:

$D = (27y)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (10y^2) = 729y^2 - 200y^2 = 529y^2$

Найдем корни уравнения для $x$:

$x = \frac{-27y \pm \sqrt{529y^2}}{2 \cdot 5} = \frac{-27y \pm 23y}{10}$

Получаем два решения для $x$:

$x_1 = \frac{-27y + 23y}{10} = \frac{-4y}{10} = -\frac{2}{5}y$

$x_2 = \frac{-27y - 23y}{10} = \frac{-50y}{10} = -5y$

Ответ: $x_1 = -5y, x_2 = -\frac{2}{5}y$.