Номер 2.17, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.17, страница 20.

2.17. a) $\begin{cases} x^2 + x(y - 1) - 2(y - 1)^2 = 0, \\ x^2 + xy + y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + x(y - 1) + (y - 1)^2 = 3, \\ x^2 + y^2 = 2y + 1. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + x(y - 1) - 2(y - 1)^2 = 0, \\ x^2 + xy + y = 1; \end{cases} $

Первое уравнение является однородным квадратным уравнением относительно переменных $x$ и $(y-1)$. Сделаем замену $z = y - 1$. Уравнение примет вид:

$x^2 + xz - 2z^2 = 0$

Разложим левую часть на множители. Найдем корни квадратного уравнения относительно $x$:

$D = z^2 - 4(1)(-2z^2) = z^2 + 8z^2 = 9z^2$.

$x = \frac{-z \pm \sqrt{9z^2}}{2} = \frac{-z \pm 3z}{2}$.

Получаем два случая:

1) $x_1 = \frac{-z + 3z}{2} = \frac{2z}{2} = z$.

2) $x_2 = \frac{-z - 3z}{2} = \frac{-4z}{2} = -2z$.

Теперь вернемся к исходным переменным, подставив $z = y - 1$:

1) $x = y - 1$.

2) $x = -2(y - 1) = -2y + 2$.

Подставим каждое из этих выражений во второе уравнение системы $x^2 + xy + y = 1$.

Случай 1: $x = y - 1$

$(y - 1)^2 + (y - 1)y + y = 1$

$y^2 - 2y + 1 + y^2 - y + y = 1$

$2y^2 - 2y + 1 = 1$

$2y^2 - 2y = 0$

$2y(y - 1) = 0$

Отсюда $y_1 = 0$ или $y_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 0 - 1 = -1$. Получаем решение $(-1, 0)$.

Если $y_2 = 1$, то $x_2 = 1 - 1 = 0$. Получаем решение $(0, 1)$.

Случай 2: $x = -2y + 2$

$(-2y + 2)^2 + (-2y + 2)y + y = 1$

$4y^2 - 8y + 4 - 2y^2 + 2y + y = 1$

$2y^2 - 5y + 4 = 1$

$2y^2 - 5y + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1$.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}$.

Отсюда $y_3 = \frac{5+1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ или $y_4 = \frac{5-1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_3 = \frac{3}{2}$, то $x_3 = -2(\frac{3}{2}) + 2 = -3 + 2 = -1$. Получаем решение $(-1, \frac{3}{2})$.

Если $y_4 = 1$, то $x_4 = -2(1) + 2 = 0$. Это дает решение $(0, 1)$, которое мы уже нашли.

Объединяя все найденные решения, получаем три пары чисел.

Ответ: $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, \frac{3}{2})$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + x(y - 1) + (y - 1)^2 = 3, \\ x^2 + y^2 = 2y + 1. \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение:

$x^2 + y^2 - 2y - 1 = 0$

$x^2 + (y^2 - 2y + 1) - 2 = 0$

$x^2 + (y - 1)^2 = 2$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} x^2 + x(y - 1) + (y - 1)^2 = 3, \\ x^2 + (y - 1)^2 = 2. \end{cases} $

Сделаем замену переменных: пусть $u = x$ и $v = y - 1$. Система примет вид:

$ \begin{cases} u^2 + uv + v^2 = 3, \\ u^2 + v^2 = 2. \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое:

$(u^2 + v^2) + uv = 3$

$2 + uv = 3$

$uv = 1$

Теперь у нас есть более простая система для $u$ и $v$:

$ \begin{cases} u^2 + v^2 = 2, \\ uv = 1. \end{cases} $

Выразим $v$ из второго уравнения: $v = 1/u$ (при $u \neq 0$) и подставим в первое:

$u^2 + (1/u)^2 = 2$

$u^2 + 1/u^2 = 2$

Домножим на $u^2$:

$u^4 + 1 = 2u^2$

$u^4 - 2u^2 + 1 = 0$

Это полный квадрат: $(u^2 - 1)^2 = 0$.

Отсюда $u^2 - 1 = 0$, то есть $u^2 = 1$.

Следовательно, $u_1 = 1$ и $u_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $v$ из соотношения $v = 1/u$:

Если $u_1 = 1$, то $v_1 = 1/1 = 1$.

Если $u_2 = -1$, то $v_2 = 1/(-1) = -1$.

Мы получили две пары решений для $(u, v)$: $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$ ($x=u$, $y=v+1$):

1) Для $(u, v) = (1, 1)$:

$x = 1$

$y = 1 + 1 = 2$

Получаем решение $(1, 2)$.

2) Для $(u, v) = (-1, -1)$:

$x = -1$

$y = -1 + 1 = 0$

Получаем решение $(-1, 0)$.

Ответ: $(1, 2)$, $(-1, 0)$.