Номер 2.19, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.19, страница 20.

2.19. Пусть $x + y = -3$, а $xy = -5$. Найдите значение выражения:

а) $x^2 + y^2$;

б) $x^3 + y^3$;

в) $x^4 + y^4$;

г) $x^2y^7 + x^7y^2$.

Дано: $x + y = -3$ и $xy = -5$.

а) $x^2 + y^2$

Чтобы найти значение выражения $x^2 + y^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Выразим из этой формулы $x^2 + y^2$:
$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.
Подставим известные значения $x+y = -3$ и $xy = -5$:
$x^2 + y^2 = (-3)^2 - 2(-5) = 9 + 10 = 19$.
Ответ: 19

б) $x^3 + y^3$

Для нахождения $x^3 + y^3$ воспользуемся формулой куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
Перегруппируем слагаемые: $(x+y)^3 = (x^3 + y^3) + 3xy(x+y)$.
Выразим отсюда $x^3 + y^3$:
$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$.
Подставим известные значения:
$x^3 + y^3 = (-3)^3 - 3(-5)(-3) = -27 - 45 = -72$.
Ответ: -72

в) $x^4 + y^4$

Рассмотрим выражение $x^4 + y^4$ как сумму квадратов: $x^4 + y^4 = (x^2)^2 + (y^2)^2$.
Воспользуемся формулой для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a=x^2$ и $b=y^2$:
$(x^2 + y^2)^2 = (x^2)^2 + 2x^2y^2 + (y^2)^2 = x^4 + y^4 + 2(xy)^2$.
Выразим отсюда $x^4 + y^4$:
$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2$.
Из пункта а) мы знаем, что $x^2 + y^2 = 19$. Подставим это и известное значение $xy = -5$:
$x^4 + y^4 = (19)^2 - 2(-5)^2 = 361 - 2(25) = 361 - 50 = 311$.
Ответ: 311

г) $x^2y^7 + x^7y^2$

Сначала упростим выражение, вынеся общий множитель за скобки:
$x^2y^7 + x^7y^2 = x^2y^2(y^5 + x^5) = (xy)^2(x^5 + y^5)$.
Теперь нам нужно найти значение $x^5 + y^5$. Для этого воспользуемся результатами предыдущих пунктов. Рассмотрим произведение $(x^2 + y^2)(x^3 + y^3)$:
$(x^2 + y^2)(x^3 + y^3) = x^5 + x^2y^3 + y^2x^3 + y^5 = (x^5 + y^5) + x^2y^2(x+y)$.
Выразим отсюда $x^5 + y^5$:
$x^5 + y^5 = (x^2 + y^2)(x^3 + y^3) - (xy)^2(x+y)$.
Из предыдущих пунктов мы знаем, что $x^2 + y^2 = 19$ и $x^3 + y^3 = -72$. Подставим эти и исходные значения:
$x^5 + y^5 = (19)(-72) - (-5)^2(-3) = -1368 - (25)(-3) = -1368 - (-75) = -1368 + 75 = -1293$.
Теперь вернемся к исходному выражению и подставим найденное значение $x^5 + y^5 = -1293$ и $xy = -5$:
$x^2y^7 + x^7y^2 = (xy)^2(x^5 + y^5) = (-5)^2(-1293) = 25(-1293) = -32325$.
Ответ: -32325