Номер 2.13, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.13, страница 19.

2.13. a) $4x^3 + 5x^2y + xy^2 = 0;$

б) $x^3 + 6x^2y + 11xy^2 + 6y^3 = 0.$

а) $4x^3 + 5x^2y + xy^2 = 0$

Данное уравнение является однородным уравнением третьей степени. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4x^2 + 5xy + y^2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два случая:

1. $x = 0$. Это одно из решений уравнения.

2. $4x^2 + 5xy + y^2 = 0$. Это однородное уравнение второй степени. Так как случай $x = 0$ мы уже рассмотрели, для поиска других решений можем считать, что $x \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $x^2$:

$4 + 5\frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2 = 0$

Произведем замену переменной: пусть $t = \frac{y}{x}$. Уравнение преобразуется в квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 5t + 4 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $4$. Следовательно, корни уравнения:

$t_1 = -1$ и $t_2 = -4$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти соотношения между $x$ и $y$.

При $t_1 = -1$:

$\frac{y}{x} = -1 \implies y = -x$

При $t_2 = -4$:

$\frac{y}{x} = -4 \implies y = -4x$

Таким образом, решениями исходного уравнения являются три зависимости, которые на координатной плоскости представляют собой три прямые.

Ответ: $x=0$; $y=-x$; $y=-4x$.

б) $x^3 + 6x^2y + 11xy^2 + 6y^3 = 0$

Это также однородное уравнение третьей степени. Заметим, что если $x = 0$, то уравнение принимает вид $6y^3 = 0$, что означает $y=0$. Таким образом, пара $(0,0)$ является тривиальным решением. Для поиска нетривиальных решений будем считать, что $x \ne 0$, и разделим все члены уравнения на $x^3$:

$1 + 6\frac{y}{x} + 11(\frac{y}{x})^2 + 6(\frac{y}{x})^3 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{y}{x}$. В результате получим кубическое уравнение относительно $t$:

$6t^3 + 11t^2 + 6t + 1 = 0$

Для решения этого уравнения найдем его рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена ($1$), а $q$ — делитель старшего коэффициента ($6$). Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{6}$.

Проверим $t = -1$:

$6(-1)^3 + 11(-1)^2 + 6(-1) + 1 = -6 + 11 - 6 + 1 = 0$.

Следовательно, $t_1 = -1$ является корнем. Это означает, что многочлен $6t^3 + 11t^2 + 6t + 1$ делится на $(t+1)$ без остатка. Выполнив деление в столбик или используя схему Горнера, получим:

$(6t^3 + 11t^2 + 6t + 1) : (t+1) = 6t^2 + 5t + 1$.

Теперь уравнение можно записать в виде:

$(t+1)(6t^2 + 5t + 1) = 0$

Осталось найти корни квадратного уравнения $6t^2 + 5t + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения:

$t_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 1}{12}$

$t_2 = \frac{-5 - 1}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

$t_3 = \frac{-5 + 1}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

Мы нашли три корня для $t$: $t_1 = -1$, $t_2 = -\frac{1}{2}$ и $t_3 = -\frac{1}{3}$.

Вернемся к замене $t = \frac{y}{x}$ и найдем соответствующие соотношения для $x$ и $y$:

1. $\frac{y}{x} = -1 \implies y = -x$ (или $x+y=0$)

2. $\frac{y}{x} = -\frac{1}{2} \implies 2y = -x \implies x + 2y = 0$

3. $\frac{y}{x} = -\frac{1}{3} \implies 3y = -x \implies x + 3y = 0$

Ответ: $y=-x$; $x+2y=0$; $x+3y=0$.