Номер 2.10, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.10, страница 19.

2.10. a) Докажите, что сумма $17^{11} + 5^{11}$ делится без остатка на 22.

б) Докажите, что разность $13^9 - 7^9$ делится без остатка на 6.

a)

Для доказательства того, что сумма $17^{11} + 5^{11}$ делится на 22, воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы степеней с нечетным показателем: $a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + b^{n-1})$, которая верна для любого нечетного натурального числа $n$.

В нашем случае $a = 17$, $b = 5$, а показатель степени $n = 11$ является нечетным числом, поэтому формула применима.

Подставим наши значения в формулу:
$17^{11} + 5^{11} = (17+5)(17^{10} - 17^9 \cdot 5 + 17^8 \cdot 5^2 - \dots + 5^{10})$

Вычислим сумму в первой скобке:
$17 + 5 = 22$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:
$17^{11} + 5^{11} = 22 \cdot (17^{10} - 17^9 \cdot 5 + \dots + 5^{10})$

Поскольку выражение является произведением числа 22 и некоторого целого числа (выражение во второй скобке является целым числом, так как все его слагаемые — целые числа), то оно делится на 22 без остатка.

Ответ: Сумма $17^{11} + 5^{11}$ делится на 22 без остатка.

б)

Для доказательства того, что разность $13^9 - 7^9$ делится на 6, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + b^{n-1})$, которая верна для любого натурального числа $n$.

В данном случае $a = 13$, $b = 7$, а показатель степени $n = 9$.

Применим формулу к нашему выражению:
$13^9 - 7^9 = (13-7)(13^8 + 13^7 \cdot 7 + 13^6 \cdot 7^2 + \dots + 7^8)$

Вычислим разность в первой скобке:
$13 - 7 = 6$

Следовательно, исходное выражение можно переписать как:
$13^9 - 7^9 = 6 \cdot (13^8 + 13^7 \cdot 7 + \dots + 7^8)$

Так как выражение представляет собой произведение числа 6 и некоторого целого числа (выражение во второй скобке является целым числом), оно делится на 6 без остатка.

Ответ: Разность $13^9 - 7^9$ делится на 6 без остатка.