Номер 2.6, страница 19, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.6, страница 19.

2.6. a) Докажите, что многочлен $(y^2 - z^2)x + (z^2 - x^2)y + (x^2 - y^2)z$ не обращается в нуль ни при каких попарно различных значениях переменных $x, y, z$.

б) Многочлен $x^3 + px + q$ обращается в нуль при $x = \alpha$, при $x = \beta$ и при $x = \gamma$. Докажите, что $\alpha + \beta + \gamma = 0$.

а)

Рассмотрим данный многочлен $P(x, y, z) = (y^2 - z^2)x + (z^2 - x^2)y + (x^2 - y^2)z$.

Чтобы доказать, что он не обращается в нуль при попарно различных значениях переменных, преобразуем его, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые. Раскроем скобки:

$P(x, y, z) = y^2x - z^2x + z^2y - x^2y + x^2z - y^2z$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$:

$P(x, y, z) = (z - y)x^2 + (y^2 - z^2)x + (yz^2 - y^2z)$

Вынесем общие множители из каждой группы слагаемых:

$P(x, y, z) = -(y - z)x^2 + (y - z)(y + z)x - yz(y - z)$

Теперь вынесем общий множитель $(y - z)$ за скобки:

$P(x, y, z) = (y - z)(-x^2 + (y + z)x - yz)$

Вынесем знак минус из второго множителя (из скобки с квадратным трехчленом):

$P(x, y, z) = -(y - z)(x^2 - (y + z)x + yz)$

Выражение в скобках $x^2 - (y + z)x + yz$ является квадратным трехчленом относительно переменной $x$. Его можно разложить на множители. Согласно теореме Виета для квадратного уравнения, его корнями являются $y$ и $z$, поэтому трехчлен раскладывается как $(x - y)(x - z)$.

Таким образом, получаем окончательное разложение исходного многочлена на множители:

$P(x, y, z) = -(y - z)(x - y)(x - z)$

По условию задачи, переменные $x, y, z$ попарно различны. Это означает, что $x \neq y$, $y \neq z$ и $x \neq z$. Следовательно, каждый из множителей в полученном произведении отличен от нуля:

$(y - z) \neq 0$

$(x - y) \neq 0$

$(x - z) \neq 0$

Произведение трех ненулевых чисел также является ненулевым числом. Значит, $P(x, y, z) \neq 0$ при попарно различных $x, y, z$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Пусть дан многочлен $P(x) = x^3 + px + q$.

По условию, многочлен обращается в нуль при $x = \alpha$, $x = \beta$ и при $x = \gamma$. Это означает, что $\alpha, \beta, \gamma$ являются корнями уравнения $x^3 + px + q = 0$.

Согласно основной теореме алгебры, многочлен третьей степени, имеющий корни $\alpha, \beta, \gamma$, может быть представлен в виде произведения линейных множителей. Поскольку старший коэффициент многочлена (при $x^3$) равен 1, мы можем записать тождество:

$x^3 + px + q = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$

Раскроем скобки в правой части равенства, чтобы найти его коэффициенты в развернутом виде:

$(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = (x^2 - \beta x - \alpha x + \alpha\beta)(x - \gamma)$

$= (x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta)(x - \gamma)$

$= x(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta) - \gamma(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta)$

$= x^3 - (\alpha + \beta)x^2 + \alpha\beta x - \gamma x^2 + \gamma(\alpha + \beta)x - \alpha\beta\gamma$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях $x$:

$= x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma)x - \alpha\beta\gamma$

Теперь мы имеем тождество двух многочленов:

$x^3 + 0 \cdot x^2 + px + q \equiv x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma)x - \alpha\beta\gamma$

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Приравняем коэффициенты при $x^2$. В левой части многочлена коэффициент при $x^2$ равен 0 (поскольку этот член отсутствует). В правой части он равен $-(\alpha + \beta + \gamma)$.

$0 = -(\alpha + \beta + \gamma)$

Умножив обе части на -1, получаем:

$\alpha + \beta + \gamma = 0$

Это соотношение известно как одна из формул Виета для кубического уравнения. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.