Номер 1.49, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.49, страница 18.

1.49. Докажите, что все корни многочлена $g(x)$ являются корнями многочлена $f(x):$

a) $g(x) = x^2 - 7x - 1$, $f(x) = x^5 - 7x^4 - 5x^2 - 15x - 2$

б) $g(x) = x^3 - 5x^2 + 2x - 3$, $f(x) = x^5 - 12x^4 + 36x^3 - 12x^2 + 19x + 3$

а)

Чтобы доказать, что все корни многочлена $g(x) = x^2 - 7x - 1$ являются корнями многочлена $f(x) = x^5 - 7x^4 - 5x^2 - 15x - 2$, необходимо показать, что многочлен $f(x)$ делится на многочлен $g(x)$ без остатка. Если это так, то $f(x)$ можно представить в виде произведения $f(x) = g(x) \cdot q(x)$, где $q(x)$ — некоторый многочлен. В этом случае любой корень $x_0$ многочлена $g(x)$ (т.е. $g(x_0)=0$) будет также и корнем многочлена $f(x)$, поскольку $f(x_0) = g(x_0) \cdot q(x_0) = 0 \cdot q(x_0) = 0$.

Выполним деление многочлена $f(x)$ на $g(x)$ столбиком.

$x^5 - 7x^4 - 5x^2 - 15x - 2$ | $x^2 - 7x - 1$
-($x^5 - 7x^4 - x^3$) | $x^3 + x + 2$
-----------------------
$x^3 - 5x^2 - 15x$
-($x^3 - 7x^2 - x$)
-----------------
$2x^2 - 14x - 2$
-($2x^2 - 14x - 2$)
-----------------
$0$

Деление выполняется без остатка, и частное $q(x) = x^3 + x + 2$. Таким образом, $f(x) = (x^2 - 7x - 1)(x^3 + x + 2) = g(x) \cdot (x^3 + x + 2)$. Это доказывает, что все корни $g(x)$ являются корнями $f(x)$.

Ответ: Так как многочлен $f(x)$ делится на многочлен $g(x)$ без остатка, $f(x) = (x^2 - 7x - 1)(x^3 + x + 2)$, то все корни $g(x)$ являются и корнями $f(x)$.

б)

Аналогично пункту а), докажем, что все корни многочлена $g(x) = x^3 - 5x^2 + 2x - 3$ являются корнями многочлена $f(x) = x^5 - 12x^4 + 36x^3 - 12x^2 + 19x + 3$. Для этого покажем, что $f(x)$ делится на $g(x)$ без остатка.

Выполним деление многочлена $f(x)$ на $g(x)$ столбиком.

$x^5 - 12x^4 + 36x^3 - 12x^2 + 19x + 3$ | $x^3 - 5x^2 + 2x - 3$
-($x^5 - 5x^4 + 2x^3 - 3x^2$) | $x^2 - 7x - 1$
-------------------------------------
$-7x^4 + 34x^3 - 9x^2 + 19x$
-($-7x^4 + 35x^3 - 14x^2 + 21x$)
---------------------------------
$-x^3 + 5x^2 - 2x + 3$
-($-x^3 + 5x^2 - 2x + 3$)
---------------------------
$0$

Деление выполняется без остатка, и частное $q(x) = x^2 - 7x - 1$. Таким образом, $f(x) = (x^3 - 5x^2 + 2x - 3)(x^2 - 7x - 1) = g(x) \cdot (x^2 - 7x - 1)$. Это доказывает, что все корни $g(x)$ являются корнями $f(x)$.

Ответ: Так как многочлен $f(x)$ делится на многочлен $g(x)$ без остатка, $f(x) = (x^3 - 5x^2 + 2x - 3)(x^2 - 7x - 1)$, то все корни $g(x)$ являются и корнями $f(x)$.