Номер 2.4, страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.4, страница 18.

2.4. a) $(x^7 + x) - (y^7 + y)$;

Б) $x^4 + 4y^4$;

В) $(x^5 - x) - (y^5 - y)$;

Г) $16x^4 + y^4$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $(x^7 + x) - (y^7 + y)$, сначала раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями.

$(x^7 + x) - (y^7 + y) = x^7 + x - y^7 - y = (x^7 - y^7) + (x - y)$

Далее используем формулу разности степеней $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$. Для $n=7$ получаем:

$x^7 - y^7 = (x - y)(x^6 + x^5y + x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4 + xy^5 + y^6)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$(x - y)(x^6 + x^5y + x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4 + xy^5 + y^6) + (x - y)$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(x^6 + x^5y + x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4 + xy^5 + y^6 + 1)$

Ответ: $(x - y)(x^6 + x^5y + x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4 + xy^5 + y^6 + 1)$

б) Для разложения на множители выражения $x^4 + 4y^4$ применим метод выделения полного квадрата (используя тождество Софи Жермен). Для этого добавим и вычтем слагаемое, которое дополнит выражение до полного квадрата суммы.

Полный квадрат из слагаемых $(x^2)^2$ и $(2y^2)^2$ должен содержать удвоенное произведение $2 \cdot x^2 \cdot 2y^2 = 4x^2y^2$.

$x^4 + 4y^4 = (x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4) - 4x^2y^2$

Теперь первые три слагаемых образуют квадрат суммы $(x^2 + 2y^2)^2$, а $4x^2y^2$ можно представить как $(2xy)^2$.

$(x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2$

Получилось выражение вида "разность квадратов" $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^2+2y^2$ и $b = 2xy$.

$((x^2 + 2y^2) - 2xy)((x^2 + 2y^2) + 2xy)$

Упорядочим слагаемые внутри скобок для стандартного вида:

$(x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2)$

Ответ: $(x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2)$

в) Решаем аналогично пункту а). Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые.

$(x^5 - x) - (y^5 - y) = x^5 - x - y^5 + y = (x^5 - y^5) - (x - y)$

Применим формулу разности пятых степеней:

$x^5 - y^5 = (x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4)$

Подставим разложение в исходное выражение:

$(x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4) - (x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4 - 1)$

Ответ: $(x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4 - 1)$

г) Для разложения выражения $16x^4 + y^4$ используем метод выделения полного квадрата, как в пункте б).

Представим слагаемые в виде квадратов: $16x^4 = (4x^2)^2$ и $y^4 = (y^2)^2$.

Чтобы получить полный квадрат, добавим и вычтем удвоенное произведение оснований: $2 \cdot 4x^2 \cdot y^2 = 8x^2y^2$.

$16x^4 + y^4 = (16x^4 + 8x^2y^2 + y^4) - 8x^2y^2$

Первые три слагаемых образуют квадрат суммы $(4x^2 + y^2)^2$. Слагаемое $8x^2y^2$ представим как квадрат: $( \sqrt{8}xy )^2 = (2\sqrt{2}xy)^2$.

$(4x^2 + y^2)^2 - (2\sqrt{2}xy)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 4x^2+y^2$ и $b = 2\sqrt{2}xy$.

$((4x^2 + y^2) - 2\sqrt{2}xy)((4x^2 + y^2) + 2\sqrt{2}xy)$

Упорядочим слагаемые:

$(4x^2 - 2\sqrt{2}xy + y^2)(4x^2 + 2\sqrt{2}xy + y^2)$

Ответ: $(4x^2 - 2\sqrt{2}xy + y^2)(4x^2 + 2\sqrt{2}xy + y^2)$