Номер 2.20, страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.20, страница 20.

2.20. Пусть $x + y = -7$, а $xy = -1$. Найдите значение выражения:

a) $\frac{|x - y|}{xy^2 + x^2y} + 2 \cdot \left|\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right|;$

б) $\frac{|x^4 - y^4|}{xy^3 + x^3y} + \left|\frac{x^2}{y^2} - \frac{y^2}{x^2}\right|.$

а) Для нахождения значения выражения $\frac{|x-y|}{xy^2 + x^2y} + 2 \cdot |\frac{x}{y} - \frac{y}{x}|$ выполним следующие шаги.
Сначала найдем вспомогательные значения. Используя тождество $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$, подставим данные значения $x+y=-7$ и $xy=-1$:
$(x-y)^2 = (-7)^2 - 4(-1) = 49 + 4 = 53$.
Отсюда, $|x-y| = \sqrt{53}$.
Теперь преобразуем каждое слагаемое в выражении.
Первое слагаемое: $\frac{|x-y|}{xy^2 + x^2y} = \frac{|x-y|}{xy(y+x)}$.
Подставляем известные значения: $\frac{\sqrt{53}}{(-1)(-7)} = \frac{\sqrt{53}}{7}$.
Второе слагаемое: $2 \cdot |\frac{x}{y} - \frac{y}{x}| = 2 \cdot |\frac{x^2 - y^2}{xy}| = 2 \cdot \frac{|(x-y)(x+y)|}{|xy|} = 2 \cdot \frac{|x-y||x+y|}{|xy|}$.
Подставляем известные значения: $2 \cdot \frac{\sqrt{53} \cdot |-7|}{|-1|} = 2 \cdot \frac{7\sqrt{53}}{1} = 14\sqrt{53}$.
Теперь сложим полученные значения:
$\frac{\sqrt{53}}{7} + 14\sqrt{53} = \frac{\sqrt{53}}{7} + \frac{98\sqrt{53}}{7} = \frac{(1+98)\sqrt{53}}{7} = \frac{99\sqrt{53}}{7}$.

Ответ: $\frac{99\sqrt{53}}{7}$.

б) Для нахождения значения выражения $\frac{|x^4 - y^4|}{xy^3 + x^3y} + |\frac{x^2}{y^2} - \frac{y^2}{x^2}|$ выполним следующие шаги.
Сначала найдем необходимые вспомогательные значения. Из пункта а) мы знаем, что $|x-y|=\sqrt{53}$. Вычислим $x^2+y^2$:
$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (-7)^2 - 2(-1) = 49 + 2 = 51$.
Преобразуем первое слагаемое. Заметим, что $x^2+y^2 = 51 > 0$.
$\frac{|x^4 - y^4|}{xy^3 + x^3y} = \frac{|(x^2-y^2)(x^2+y^2)|}{xy(x^2+y^2)} = \frac{|x^2-y^2| \cdot (x^2+y^2)}{xy(x^2+y^2)} = \frac{|x^2-y^2|}{xy}$.
Далее, $|x^2-y^2| = |(x-y)(x+y)| = |x-y||x+y| = \sqrt{53} \cdot |-7| = 7\sqrt{53}$.
Тогда первое слагаемое равно $\frac{7\sqrt{53}}{-1} = -7\sqrt{53}$.
Теперь преобразуем второе слагаемое:
$|\frac{x^2}{y^2} - \frac{y^2}{x^2}| = |\frac{x^4 - y^4}{x^2y^2}| = \frac{|x^4 - y^4|}{(xy)^2}$.
Вычислим числитель: $|x^4-y^4| = |x^2-y^2| \cdot (x^2+y^2) = 7\sqrt{53} \cdot 51 = 357\sqrt{53}$.
Тогда второе слагаемое равно $\frac{357\sqrt{53}}{(-1)^2} = 357\sqrt{53}$.
Теперь сложим полученные значения:
$-7\sqrt{53} + 357\sqrt{53} = 350\sqrt{53}$.

Ответ: $350\sqrt{53}$.