Номер 2.21, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.21, страница 21.

Решите симметрическую систему уравнений:

2.21. a) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 + y^2 = 13; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy - 3x - 3y = -9, \\ x^2 + y^2 - 5x - 5y = -10; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y + xy = 5, \\ xy(x + y) = 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} xy - 7x - 7y = -9, \\ x^2 + y^2 + 11(x + y) = 16. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $$

Это симметрическая система. Для её решения введем новые переменные, основанные на элементарных симметрических многочленах: $u = x + y$ и $v = xy$.

Используем известное тождество: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.

Теперь перепишем исходную систему в терминах $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} u = 5 \\ u^2 - 2v = 13 \end{cases} $$

Подставим значение $u = 5$ из первого уравнения во второе:

$5^2 - 2v = 13$

$25 - 2v = 13$

$2v = 25 - 13$

$2v = 12$

$v = 6$

Мы нашли значения для новых переменных: $u = 5$ и $v = 6$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, решив систему:

$$ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставив найденные значения суммы и произведения, получим уравнение:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Находим корни этого уравнения (например, по формуле корней квадратного уравнения):

$t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}$

Корни: $t_1 = \frac{5+1}{2} = 3$ и $t_2 = \frac{5-1}{2} = 2$.

Поскольку система симметрична, пары $(x, y)$ могут быть $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy - 3x - 3y = -9 \\ x^2 + y^2 - 5x - 5y = -10 \end{cases} $$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить симметрические многочлены $x+y$ и $xy$:

$$ \begin{cases} xy - 3(x + y) = -9 \\ (x^2 + y^2) - 5(x + y) = -10 \end{cases} $$

Введем замену: $u = x + y$, $v = xy$. Тогда $x^2 + y^2 = u^2 - 2v$.

Система в новых переменных примет вид:

$$ \begin{cases} v - 3u = -9 \\ (u^2 - 2v) - 5u = -10 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 3u - 9$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$u^2 - 2(3u - 9) - 5u = -10$

$u^2 - 6u + 18 - 5u = -10$

$u^2 - 11u + 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $u$. По теореме Виета, корни $u_1 = 4, u_2 = 7$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $u = 4$.

Находим соответствующее значение $v$: $v = 3(4) - 9 = 12 - 9 = 3$.

Возвращаемся к $x$ и $y$: $x + y = 4$, $xy = 3$. Они являются корнями уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$, откуда $t_1 = 1, t_2 = 3$. Решения: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Случай 2: $u = 7$.

Находим соответствующее значение $v$: $v = 3(7) - 9 = 21 - 9 = 12$.

Возвращаемся к $x$ и $y$: $x + y = 7$, $xy = 12$. Они являются корнями уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$, откуда $t_1 = 3, t_2 = 4$. Решения: $(3, 4)$ и $(4, 3)$.

Объединяем все найденные пары.

Ответ: $(1, 3), (3, 1), (3, 4), (4, 3)$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y + xy = 5 \\ xy(x + y) = 6 \end{cases} $$

Введем замену: $u = x + y$, $v = xy$.

Система в новых переменных:

$$ \begin{cases} u + v = 5 \\ uv = 6 \end{cases} $$

По обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 5z + 6 = 0$.

Корни этого уравнения $z_1 = 2, z_2 = 3$.

Это приводит к двум возможным системам для $u$ и $v$:

Случай 1: $u = 2, v = 3$.

Возвращаемся к $x$ и $y$: $x + y = 2, xy = 3$. Они являются корнями уравнения $t^2 - 2t + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$. В этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $u = 3, v = 2$.

Возвращаемся к $x$ и $y$: $x + y = 3, xy = 2$. Они являются корнями уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$, откуда $t_1 = 1, t_2 = 2$. Решения: $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy - 7x - 7y = -9 \\ x^2 + y^2 + 11(x + y) = 16 \end{cases} $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ \begin{cases} xy - 7(x + y) = -9 \\ (x^2 + y^2) + 11(x + y) = 16 \end{cases} $$

Введем замену: $u = x + y$, $v = xy$. Тогда $x^2 + y^2 = u^2 - 2v$.

Система в новых переменных:

$$ \begin{cases} v - 7u = -9 \\ (u^2 - 2v) + 11u = 16 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 7u - 9$.

Подставим во второе уравнение:

$u^2 - 2(7u - 9) + 11u = 16$

$u^2 - 14u + 18 + 11u = 16$

$u^2 - 3u + 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $u_1 = 1, u_2 = 2$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $u = 1$.

Тогда $v = 7(1) - 9 = -2$.

Система для $x$ и $y$: $x + y = 1, xy = -2$. Они являются корнями уравнения $t^2 - t - 2 = 0$, откуда $t_1 = 2, t_2 = -1$. Решения: $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

Случай 2: $u = 2$.

Тогда $v = 7(2) - 9 = 14 - 9 = 5$.

Система для $x$ и $y$: $x + y = 2, xy = 5$. Они являются корнями уравнения $t^2 - 2t + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$. Действительных решений нет.

Ответ: $(2, -1), (-1, 2)$.