Номер 2.22, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.22, страница 21.

2.22. a) $\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 3, \\ xy(x^2 + y^2) = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5, \\ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 13; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x^4 + y^4 = 13; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4, \\ xy(x + y) = 2. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 3, \\ xy(x^2 + y^2) = 2; \end{cases} $
Это симметрическая система. Введем новые переменные: пусть $u = x+y$ и $v = xy$.
Выразим $x^2 + y^2$ через $u$ и $v$: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.
Подставим новые переменные в исходную систему:
$ \begin{cases} (x^2 + y^2) + xy = 3, \\ xy(x^2 + y^2) = 2; \end{cases} \implies \begin{cases} (u^2 - 2v) + v = 3, \\ v(u^2 - 2v) = 2; \end{cases} $
Упростим первое уравнение: $u^2 - v = 3$, откуда $v = u^2 - 3$.
Подставим это выражение для $v$ во второе уравнение:
$(u^2 - 3)(u^2 - 2(u^2 - 3)) = 2$
$(u^2 - 3)(u^2 - 2u^2 + 6) = 2$
$(u^2 - 3)(-u^2 + 6) = 2$
$-u^4 + 6u^2 + 3u^2 - 18 = 2$
$-u^4 + 9u^2 - 20 = 0$
$u^4 - 9u^2 + 20 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $z = u^2$, где $z \ge 0$.
$z^2 - 9z + 20 = 0$
По теореме Виета, корни $z_1 = 4$ и $z_2 = 5$. Оба корня неотрицательные.
Рассмотрим два случая:
1. $u^2 = 4 \implies u = \pm 2$. Тогда $v = u^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
2. $u^2 = 5 \implies u = \pm \sqrt{5}$. Тогда $v = u^2 - 3 = 5 - 3 = 2$.
Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$. Для каждой пары $(u, v)$ решим систему $ \begin{cases} x+y=u, \\ xy=v \end{cases} $. Это эквивалентно решению квадратного уравнения $t^2 - ut + v = 0$, где $x$ и $y$ являются его корнями.
Случай 1.1: $u = 2, v = 1$.
$t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2 = 0 \implies t=1$.
Получаем решение: $x=1, y=1$.
Случай 1.2: $u = -2, v = 1$.
$t^2 - (-2)t + 1 = 0 \implies t^2 + 2t + 1 = 0 \implies (t+1)^2 = 0 \implies t=-1$.
Получаем решение: $x=-1, y=-1$.
Случай 2.1: $u = \sqrt{5}, v = 2$.
$t^2 - \sqrt{5}t + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 5 - 8 = -3 < 0$. Действительных корней нет.
Случай 2.2: $u = -\sqrt{5}, v = 2$.
$t^2 + \sqrt{5}t + 2 = 0$. Дискриминант $D = (\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 5 - 8 = -3 < 0$. Действительных корней нет.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(1, 1), (-1, -1)$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5, \\ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 13; \end{cases} $
Введем новые переменные: $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Система примет вид:
$ \begin{cases} a + b = 5, \\ a^2 + b^2 = 13; \end{cases} $
Возведем первое уравнение в квадрат: $(a+b)^2 = 5^2 \implies a^2 + 2ab + b^2 = 25$.
Мы знаем, что $a^2 + b^2 = 13$. Подставим это значение:
$13 + 2ab = 25$
$2ab = 12$
$ab = 6$
Теперь у нас есть более простая система для $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a+b = 5, \\ ab = 6; \end{cases} $
По теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.
$(t-2)(t-3) = 0$, откуда $t_1 = 2, t_2 = 3$.
Это дает два случая для $(a, b)$:
1. $a=2, b=3$. Тогда $\frac{1}{x}=2 \implies x=\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{y}=3 \implies y=\frac{1}{3}$. Решение $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$.
2. $a=3, b=2$. Тогда $\frac{1}{x}=3 \implies x=\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{y}=2 \implies y=\frac{1}{2}$. Решение $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$.
Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}), (\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x^4 + y^4 = 13; \end{cases} $
Введем новые переменные: $a = x^2$ и $b = y^2$. Заметим, что $a \ge 0, b \ge 0$.
Система примет вид:
$ \begin{cases} a + b = 5, \\ a^2 + b^2 = 13; \end{cases} $
Эта система идентична системе для $a$ и $b$ из пункта б). Ее решение: $\{a, b\} = \{2, 3\}$.
Оба значения положительны, что удовлетворяет условиям $a \ge 0, b \ge 0$.
Рассмотрим два случая:
1. $a=2, b=3$.
$x^2=2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
$y^2=3 \implies y = \pm\sqrt{3}$.
Это дает четыре решения: $(\sqrt{2}, \sqrt{3}), (\sqrt{2}, -\sqrt{3}), (-\sqrt{2}, \sqrt{3}), (-\sqrt{2}, -\sqrt{3})$.
2. $a=3, b=2$.
$x^2=3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.
$y^2=2 \implies y = \pm\sqrt{2}$.
Это дает еще четыре решения: $(\sqrt{3}, \sqrt{2}), (\sqrt{3}, -\sqrt{2}), (-\sqrt{3}, \sqrt{2}), (-\sqrt{3}, -\sqrt{2})$.
Ответ: $(\sqrt{2}, \sqrt{3}), (\sqrt{2}, -\sqrt{3}), (-\sqrt{2}, \sqrt{3}), (-\sqrt{2}, -\sqrt{3}), (\sqrt{3}, \sqrt{2}), (\sqrt{3}, -\sqrt{2}), (-\sqrt{3}, \sqrt{2}), (-\sqrt{3}, -\sqrt{2})$.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4, \\ xy(x + y) = 2; \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю: $x+y+\frac{x+y}{xy} = 4$.
Это симметрическая система. Введем новые переменные: $u = x+y$ и $v = xy$.
Система в новых переменных:
$ \begin{cases} u + \frac{u}{v} = 4, \\ vu = 2; \end{cases} $
Из второго уравнения $uv=2$. Так как произведение не равно нулю, то $u \neq 0$ и $v \neq 0$.
Подставим $v = \frac{2}{u}$ в первое уравнение:
$u + \frac{u}{2/u} = 4$
$u + \frac{u^2}{2} = 4$
$2u + u^2 = 8$
$u^2 + 2u - 8 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $u$:
$(u+4)(u-2) = 0$, откуда $u_1 = -4, u_2 = 2$.
Рассмотрим два случая:
1. $u=2$. Тогда $v = \frac{2}{u} = \frac{2}{2} = 1$.
Возвращаемся к $x$ и $y$: $\begin{cases} x+y=2, \\ xy=1. \end{cases}$
$x$ и $y$ - корни уравнения $t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2 = 0$, откуда $t=1$.
Получаем решение: $(1, 1)$.
2. $u=-4$. Тогда $v = \frac{2}{u} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$.
Возвращаемся к $x$ и $y$: $\begin{cases} x+y=-4, \\ xy=-1/2. \end{cases}$
$x$ и $y$ - корни уравнения $t^2 - (-4)t - \frac{1}{2} = 0 \implies t^2+4t-\frac{1}{2}=0 \implies 2t^2+8t-1=0$.
Найдем корни по формуле: $t = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64+8}}{4} = \frac{-8 \pm \sqrt{72}}{4} = \frac{-8 \pm 6\sqrt{2}}{4} = \frac{-4 \pm 3\sqrt{2}}{2}$.
Получаем два решения: $(\frac{-4 + 3\sqrt{2}}{2}, \frac{-4 - 3\sqrt{2}}{2})$ и $(\frac{-4 - 3\sqrt{2}}{2}, \frac{-4 + 3\sqrt{2}}{2})$.
Ответ: $(1, 1), (\frac{-4 + 3\sqrt{2}}{2}, \frac{-4 - 3\sqrt{2}}{2}), (\frac{-4 - 3\sqrt{2}}{2}, \frac{-4 + 3\sqrt{2}}{2})$.