Номер 2.29, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.29, страница 22.

2.29. Найдите наименьшее значение выражения:

а) $x^2 + 4y^2 - 4xy + 3$;

б) $x^2 + 4xy + 5y^2 + 2y + 7$.

Для нахождения наименьшего значения выражения преобразуем его, выделив полные квадраты. Полный квадрат — это выражение вида $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$, которое всегда неотрицательно, то есть его наименьшее значение равно 0.

а) $x^2 + 4y^2 - 4xy + 3$

Сгруппируем члены, содержащие переменные $x$ и $y$, чтобы выделить полный квадрат.
$x^2 - 4xy + 4y^2 + 3$
Выражение $x^2 - 4xy + 4y^2$ является полным квадратом разности $(x - 2y)^2$, так как $x^2 - 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x - 2y)^2$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:
$(x - 2y)^2 + 3$
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(x - 2y)^2 \ge 0$.
Наименьшее значение слагаемого $(x - 2y)^2$ равно 0 (оно достигается, например, при $x=2$ и $y=1$, или при $x=0$ и $y=0$).
Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $0 + 3 = 3$.

Ответ: 3

б) $x^2 + 4xy + 5y^2 + 2y + 7$

Выделим полный квадрат, сгруппировав члены с переменной $x$.
$(x^2 + 4xy) + 5y^2 + 2y + 7$
Чтобы $x^2 + 4xy$ стало частью полного квадрата $(x+a)^2 = x^2+2ax+a^2$, нам нужно, чтобы $2ax = 4xy$, откуда $a=2y$. Тогда $a^2 = (2y)^2 = 4y^2$. Добавим и вычтем $4y^2$:
$(x^2 + 4xy + 4y^2) - 4y^2 + 5y^2 + 2y + 7$
Теперь выражение в скобках является полным квадратом:
$(x + 2y)^2 + y^2 + 2y + 7$
Теперь выделим полный квадрат для членов с переменной $y$:
$(x + 2y)^2 + (y^2 + 2y) + 7$
Для $y^2+2y$ полный квадрат — это $(y+1)^2=y^2+2y+1$. Добавим и вычтем 1:
$(x + 2y)^2 + (y^2 + 2y + 1) - 1 + 7$
Упростим выражение:
$(x + 2y)^2 + (y + 1)^2 + 6$
Выражение представляет собой сумму двух квадратов и числа 6. Квадраты любых действительных чисел неотрицательны:
$(x + 2y)^2 \ge 0$
$(y + 1)^2 \ge 0$
Наименьшее значение выражения достигается, когда оба квадрата равны нулю.
$(y + 1)^2 = 0 \implies y = -1$
$(x + 2y)^2 = 0 \implies x + 2(-1) = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2$
Таким образом, наименьшее значение выражения равно $0 + 0 + 6 = 6$.

Ответ: 6