Номер 2.30, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.30, страница 22.

2.30. Найдите наибольшее значение выражения:

a) $-x^2 - 40y^2 + 10xy + 3;$

б) $-x^2 - 4xy - 10y^2 + 14y + 12.$

а)

Чтобы найти наибольшее значение выражения, преобразуем его, выделив полные квадраты.

Исходное выражение: $-x^2 - 40y^2 + 10xy + 3$.

Сгруппируем слагаемые относительно $x$ и вынесем минус за скобки:

$-(x^2 - 10xy) - 40y^2 + 3$

Выделим полный квадрат в скобках. Для этого добавим и вычтем $( \frac{10y}{2} )^2 = (5y)^2 = 25y^2$:

$-(x^2 - 10xy + 25y^2 - 25y^2) - 40y^2 + 3$

Теперь свернем полный квадрат и раскроем внешние скобки:

$-((x - 5y)^2 - 25y^2) - 40y^2 + 3 = -(x - 5y)^2 + 25y^2 - 40y^2 + 3$

Приведем подобные слагаемые:

$-(x - 5y)^2 - 15y^2 + 3$

Выражение состоит из константы $3$ и двух слагаемых: $-(x - 5y)^2$ и $-15y^2$. Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, оба этих слагаемых всегда меньше либо равны нулю.

$-(x - 5y)^2 \le 0$

$-15y^2 \le 0$

Следовательно, наибольшее значение выражения достигается, когда оба этих слагаемых равны нулю. Это происходит, когда:

$y = 0$

$x - 5y = 0 \implies x = 5 \cdot 0 = 0$

Таким образом, наибольшее значение достигается при $x=0, y=0$ и равно $3$.

Ответ: $3$

б)

Аналогично предыдущему пункту, найдем наибольшее значение выражения $-x^2 - 4xy - 10y^2 + 14y + 12$ методом выделения полного квадрата.

Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, и выделим полный квадрат по этой переменной:

$-(x^2 + 4xy) - 10y^2 + 14y + 12 = -(x^2 + 4xy + 4y^2 - 4y^2) - 10y^2 + 14y + 12$

Свернем квадрат и упростим выражение:

$-((x + 2y)^2 - 4y^2) - 10y^2 + 14y + 12 = -(x + 2y)^2 + 4y^2 - 10y^2 + 14y + 12$

$= -(x + 2y)^2 - 6y^2 + 14y + 12$

Теперь выделим полный квадрат для слагаемых, содержащих $y$:

$-(x + 2y)^2 - (6y^2 - 14y) + 12 = -(x + 2y)^2 - 6(y^2 - \frac{14}{6}y) + 12$

$= -(x + 2y)^2 - 6(y^2 - \frac{7}{3}y) + 12$

Добавим и вычтем в скобках $(\frac{7/3}{2})^2 = (\frac{7}{6})^2 = \frac{49}{36}$:

$-(x + 2y)^2 - 6(y^2 - \frac{7}{3}y + \frac{49}{36} - \frac{49}{36}) + 12$

Свернем квадрат и упростим:

$-(x + 2y)^2 - 6((y - \frac{7}{6})^2 - \frac{49}{36}) + 12 = -(x + 2y)^2 - 6(y - \frac{7}{6})^2 + 6 \cdot \frac{49}{36} + 12$

$= -(x + 2y)^2 - 6(y - \frac{7}{6})^2 + \frac{49}{6} + 12$

Приведем константы к общему знаменателю:

$-(x + 2y)^2 - 6(y - \frac{7}{6})^2 + \frac{49}{6} + \frac{72}{6} = -(x + 2y)^2 - 6(y - \frac{7}{6})^2 + \frac{121}{6}$

Слагаемые $-(x + 2y)^2$ и $-6(y - \frac{7}{6})^2$ неположительны. Наибольшее значение выражения достигается, когда они оба равны нулю.

$y - \frac{7}{6} = 0 \implies y = \frac{7}{6}$

$x + 2y = 0 \implies x = -2y = -2 \cdot \frac{7}{6} = -\frac{7}{3}$

Наибольшее значение выражения равно константе $\frac{121}{6}$.

Ответ: $\frac{121}{6}$