Номер 3.4, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 3. Уравнения высших степеней. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 3.4, страница 23.

3.4. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых данное число $p$ является корнем данного уравнения; для каждого найденного значения $a$ решите данное уравнение:

a) $x^3 + 3x^2 - 7x + a = 0, p = 2;$

б) $x^3 - ax^2 - 5x + 4 = 0, p = 1;$

в) $2x^3 - 5x^2 + ax - 4 = 0, p = -1;$

г) $ax^3 - 3x^2 - 5x - a^2 = 0, p = -1.$

а) $x^3 + 3x^2 - 7x + a = 0$, $p = 2$

Чтобы число $p=2$ было корнем уравнения, оно должно обращать уравнение в верное равенство. Подставим $x=2$ в уравнение, чтобы найти соответствующее значение параметра $a$:
$2^3 + 3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + a = 0$
$8 + 3 \cdot 4 - 14 + a = 0$
$8 + 12 - 14 + a = 0$
$6 + a = 0$
$a = -6$

Теперь, при $a=-6$, решим уравнение:
$x^3 + 3x^2 - 7x - 6 = 0$
Поскольку мы знаем, что $x=2$ является корнем, то многочлен в левой части уравнения делится на $(x-2)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен, например, по схеме Горнера или делением в столбик. В результате деления получаем:
$(x-2)(x^2 + 5x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$
2) $x^2 + 5x + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13$
$x_{2,3} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$

Ответ: при $a = -6$ уравнение имеет корни $x_1 = 2$, $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{13}}{2}$, $x_3 = \frac{-5 - \sqrt{13}}{2}$.

б) $x^3 - ax^2 - 5x + 4 = 0$, $p = 1$

Подставим корень $x=1$ в уравнение для нахождения $a$:
$1^3 - a \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + 4 = 0$
$1 - a - 5 + 4 = 0$
$0 - a = 0$
$a = 0$

При $a=0$ уравнение принимает вид:
$x^3 - 5x + 4 = 0$
Так как $x=1$ — корень, разделим многочлен $x^3 - 5x + 4$ на $(x-1)$. Получим:
$(x-1)(x^2 + x - 4) = 0$
1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x^2 + x - 4 = 0$
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$
$x_{2,3} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Ответ: при $a = 0$ уравнение имеет корни $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$, $x_3 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$.

в) $2x^3 - 5x^2 + ax - 4 = 0$, $p = -1$

Подставим $x=-1$ в уравнение:
$2(-1)^3 - 5(-1)^2 + a(-1) - 4 = 0$
$2(-1) - 5(1) - a - 4 = 0$
$-2 - 5 - a - 4 = 0$
$-11 - a = 0$
$a = -11$

При $a=-11$ решаем уравнение:
$2x^3 - 5x^2 - 11x - 4 = 0$
Так как $x=-1$ — корень, разделим многочлен на $(x+1)$:
$(x+1)(2x^2 - 7x - 4) = 0$
1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$
2) $2x^2 - 7x - 4 = 0$
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$
$x_{2,3} = \frac{-(-7) \pm 9}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 9}{4}$
$x_2 = \frac{7+9}{4} = \frac{16}{4} = 4$
$x_3 = \frac{7-9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: при $a = -11$ уравнение имеет корни $x_1 = -1$, $x_2 = 4$, $x_3 = -0.5$.

г) $ax^3 - 3x^2 - 5x - a^2 = 0$, $p = -1$

Подставим $x=-1$ в уравнение:
$a(-1)^3 - 3(-1)^2 - 5(-1) - a^2 = 0$
$-a - 3 + 5 - a^2 = 0$
$-a^2 - a + 2 = 0$
$a^2 + a - 2 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $a$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим его корни: $a_1 = 1$, $a_2 = -2$. Необходимо рассмотреть оба случая.

Случай 1: $a=1$
Уравнение принимает вид: $x^3 - 3x^2 - 5x - 1 = 0$.
Разделим многочлен на $(x+1)$, так как $x=-1$ является корнем:
$(x+1)(x^2 - 4x - 1) = 0$
1) $x+1=0 \implies x_1 = -1$
2) $x^2 - 4x - 1 = 0$
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$
$x_{2,3} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

Случай 2: $a=-2$
Уравнение принимает вид: $-2x^3 - 3x^2 - 5x - (-2)^2 = 0$, то есть $-2x^3 - 3x^2 - 5x - 4 = 0$.
Умножим обе части на -1: $2x^3 + 3x^2 + 5x + 4 = 0$.
Разделим многочлен на $(x+1)$:
$(x+1)(2x^2 + x + 4) = 0$
1) $x+1=0 \implies x_1 = -1$
2) $2x^2 + x + 4 = 0$
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 1 - 32 = -31$
Так как $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.

Ответ: задача имеет два решения:
1) при $a = 1$ корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 2 + \sqrt{5}$, $x_3 = 2 - \sqrt{5}$;
2) при $a = -2$ уравнение имеет один действительный корень: $x = -1$.