Номер 2.24, страница 21, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 2. Многочлены от нескольких переменных. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 2.24, страница 21.

2.24. При каких значениях параметра a система имеет нечётное число решений:

a) $ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 3a^2, \\ xy(x + y) = 2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} xy - 3x - 3y = -5, \\ x^2 + y^2 - 5x - 5y = a? \end{cases} $

Для того чтобы система имела нечетное число решений, необходимо и достаточно, чтобы существовали решения, в которых переменные равны друг другу ($x=y$), так как все остальные решения $(x_0, y_0)$ при $x_0 \neq y_0$ входят в ответ парами $(x_0, y_0)$ и $(y_0, x_0)$ из-за симметрии уравнений относительно $x$ и $y$.

а)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 3a^2, \\ xy(x + y) = 2; \end{cases} $$

Система симметрична относительно $x$ и $y$. Если $(x_0, y_0)$ является решением, то и $(y_0, x_0)$ также является решением. Нечетное число решений возможно только в том случае, если существует хотя бы одно решение вида $(x, x)$, т.е. $x=y$.

Подставим $x=y$ в систему:

$$ \begin{cases} x^2 + x \cdot x + x^2 = 3a^2 \\ x \cdot x(x + x) = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x^2 = 3a^2 \\ 2x^3 = 2 \end{cases} $$

Из второго уравнения получаем $x^3 = 1$, откуда, так как мы ищем действительные решения, $x=1$.

Подставляя $x=1$ в первое уравнение, находим $a$:

$1^2 = a^2 \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1$.

Таким образом, только при $a = \pm 1$ система может иметь нечетное число решений. Проверим, так ли это. Для этого найдем все решения системы при $a^2 = 1$.

Введем замену: $u = x+y$, $v = xy$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} (x+y)^2 - xy = 3a^2 \\ xy(x+y) = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u^2 - v = 3a^2 \\ uv = 2 \end{cases} $$

Подставляя $v = 2/u$ из второго уравнения в первое, получаем кубическое уравнение относительно $u$:

$u^2 - \frac{2}{u} = 3a^2 \Rightarrow u^3 - 3a^2u - 2 = 0$.

При $a^2=1$ уравнение принимает вид:

$u^3 - 3u - 2 = 0$.

Мы уже знаем, что одно из решений соответствует случаю $x=y=1$. В этом случае $u = x+y = 1+1=2$. Проверим, является ли $u=2$ корнем уравнения: $2^3 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$. Да, является. Разделим многочлен $u^3 - 3u - 2$ на $(u-2)$:

$(u^3 - 3u - 2) : (u-2) = u^2 + 2u + 1 = (u+1)^2$.

Таким образом, уравнение для $u$ имеет корни $u_1 = 2$ и $u_2 = -1$ (кратности 2).

Для каждого значения $u$ найдем соответствующие пары $(x,y)$. Они являются корнями квадратного уравнения $t^2 - ut + v = 0$, где $v = 2/u$.

1. При $u_1 = 2$: $v_1 = 2/2 = 1$. Уравнение $t^2 - 2t + 1 = 0$, или $(t-1)^2 = 0$. Оно имеет один корень $t=1$. Это дает одно решение системы: $(1, 1)$.

2. При $u_2 = -1$: $v_2 = 2/(-1) = -2$. Уравнение $t^2 - (-1)t - 2 = 0$, или $t^2 + t - 2 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 1, t_2 = -2$. Это дает два решения системы: $(1, -2)$ и $(-2, 1)$.

Всего при $a = \pm 1$ система имеет $1+2=3$ решения. Число 3 является нечетным.

Ответ: $a = -1, a = 1$.

б)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} xy - 3x - 3y = -5, \\ x^2 + y^2 - 5x - 5y = a; \end{cases} $$

Эта система также симметрична относительно $x$ и $y$. Нечетное число решений возможно, если существует решение вида $(x,x)$. Подставим $y=x$ в систему:

$$ \begin{cases} x^2 - 3x - 3x = -5 \\ x^2 + x^2 - 5x - 5x = a \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 - 6x + 5 = 0 \\ 2x^2 - 10x = a \end{cases} $$

Первое уравнение $(x-1)(x-5) = 0$ дает два возможных значения: $x=1$ или $x=5$.

1. Если $x=1$, то из второго уравнения $a = 2(1)^2 - 10(1) = 2 - 10 = -8$. При $a=-8$ существует решение $(1,1)$.

2. Если $x=5$, то из второго уравнения $a = 2(5)^2 - 10(5) = 50 - 50 = 0$. При $a=0$ существует решение $(5,5)$.

Проверим эти значения параметра $a$. Введем замену $u = x+y$, $v = xy$.

$$ \begin{cases} v - 3u = -5 \\ (x+y)^2 - 2xy - 5(x+y) = a \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} v = 3u - 5 \\ u^2 - 2v - 5u = a \end{cases} $$

Подставляем $v$ во второе уравнение:

$u^2 - 2(3u-5) - 5u = a$

$u^2 - 6u + 10 - 5u = a$

$u^2 - 11u + (10 - a) = 0$.

Для каждого решения $u_0$ этого квадратного уравнения, мы находим $v_0 = 3u_0 - 5$ и затем решаем $t^2 - u_0t + v_0 = 0$ для нахождения пар $(x,y)$. Число решений для $(x,y)$ зависит от дискриминанта $D_t = u_0^2 - 4v_0 = u_0^2 - 4(3u_0-5) = u_0^2 - 12u_0 + 20$.

Одно решение $(x=y)$ получается, когда $D_t = 0$. Уравнение $u_0^2 - 12u_0 + 20 = 0$ имеет корни $u_0=2$ и $u_0=10$.

Рассмотрим найденные значения $a$.

Случай 1: $a = -8$.

Уравнение для $u$: $u^2 - 11u + (10 - (-8)) = 0 \Rightarrow u^2 - 11u + 18 = 0$.

Корни: $u_1=2, u_2=9$.

• Для $u_1=2$: $D_t = 2^2 - 12(2) + 20 = 0$. Это дает 1 решение. (Это решение $(1,1)$).
• Для $u_2=9$: $D_t = 9^2 - 12(9) + 20 = 81 - 108 + 20 = -7 < 0$. Это дает 0 решений.

Суммарное число решений при $a=-8$ равно $1+0=1$, что является нечетным числом.

Случай 2: $a = 0$.

Уравнение для $u$: $u^2 - 11u + 10 = 0$.

Корни: $u_1=1, u_2=10$.

• Для $u_1=1$: $D_t = 1^2 - 12(1) + 20 = 9 > 0$. Это дает 2 решения.
• Для $u_2=10$: $D_t = 10^2 - 12(10) + 20 = 0$. Это дает 1 решение. (Это решение $(5,5)$).

Суммарное число решений при $a=0$ равно $2+1=3$, что является нечетным числом.

Таким образом, оба значения подходят.

Ответ: $a = -8, a = 0$.