Номер 1.33, страница 15, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.33, страница 15.

1.33. Используя схему Горнера, найдите все такие значения параметра $a$, при которых число $x_0$ является корнем многочлена $p(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + ax - 1$:

а) $x_0 = 1$;

б) $x_0 = -3$;

в) $x_0 = 2$;

г) $x_0 = 0,5$.

Для того чтобы число $x_0$ было корнем многочлена $p(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + ax - 1$, необходимо, чтобы значение многочлена в этой точке было равно нулю, то есть $p(x_0) = 0$. Согласно следствию из теоремы Безу, это равносильно тому, что остаток от деления многочлена $p(x)$ на двучлен $(x - x_0)$ равен нулю. Мы найдем этот остаток для каждого значения $x_0$ с помощью схемы Горнера и приравняем его к нулю, чтобы найти параметр $a$.

Коэффициенты многочлена $p(x)$ следующие: $1$ (при $x^4$), $-3$ (при $x^3$), $1$ (при $x^2$), $a$ (при $x$), $-1$ (свободный член).

а) $x_0 = 1$

Применим схему Горнера для деления $p(x)$ на $(x - 1)$:

	1	-3	1	$a$	-1
$x_0=1$	1	$1 \cdot 1 + (-3) = -2$	$1 \cdot (-2) + 1 = -1$	$1 \cdot (-1) + a = a-1$	$1 \cdot (a-1) + (-1) = a-2$

Остаток от деления равен $a-2$. Приравниваем его к нулю:

$a - 2 = 0$

$a = 2$

Ответ: $a = 2$.

б) $x_0 = -3$

Применим схему Горнера для деления $p(x)$ на $(x - (-3)) = (x+3)$:

	1	-3	1	$a$	-1
$x_0=-3$	1	$(-3) \cdot 1 + (-3) = -6$	$(-3) \cdot (-6) + 1 = 18 + 1 = 19$	$(-3) \cdot 19 + a = a-57$	$(-3) \cdot (a-57) + (-1) = -3a + 171 - 1 = 170 - 3a$

Остаток от деления равен $170 - 3a$. Приравниваем его к нулю:

$170 - 3a = 0$

$3a = 170$

$a = \frac{170}{3}$

Ответ: $a = \frac{170}{3}$.

в) $x_0 = 2$

Применим схему Горнера для деления $p(x)$ на $(x - 2)$:

	1	-3	1	$a$	-1
$x_0=2$	1	$2 \cdot 1 + (-3) = -1$	$2 \cdot (-1) + 1 = -1$	$2 \cdot (-1) + a = a-2$	$2 \cdot (a-2) + (-1) = 2a - 4 - 1 = 2a - 5$

Остаток от деления равен $2a - 5$. Приравниваем его к нулю:

$2a - 5 = 0$

$2a = 5$

$a = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $a = 2.5$.

г) $x_0 = 0.5$

Применим схему Горнера для деления $p(x)$ на $(x - 0.5)$. Для удобства вычислений используем $x_0 = \frac{1}{2}$:

	1	-3	1	$a$	-1
$x_0=\frac{1}{2}$	1	$\frac{1}{2} \cdot 1 + (-3) = -\frac{5}{2}$	$\frac{1}{2} \cdot (-\frac{5}{2}) + 1 = -\frac{5}{4} + 1 = -\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{4}) + a = a-\frac{1}{8}$	$\frac{1}{2} \cdot (a-\frac{1}{8}) - 1 = \frac{a}{2} - \frac{1}{16} - 1 = \frac{a}{2} - \frac{17}{16}$

Остаток от деления равен $\frac{a}{2} - \frac{17}{16}$. Приравниваем его к нулю:

$\frac{a}{2} - \frac{17}{16} = 0$

$\frac{a}{2} = \frac{17}{16}$

$a = 2 \cdot \frac{17}{16} = \frac{17}{8} = 2.125$

Ответ: $a = \frac{17}{8}$.