Номер 1.35, страница 16, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 1. Многочлены от одной переменной. Глава 1. Многочлены. ч. 2 - номер 1.35, страница 16.

1.35. Найдите значения параметра $a$, при которых многочлен

имеет ровно три различных корня:

а) $3(x + 5)(x - 7)(x + 1)(x - a);$

б) $(ax^2 + 5x + 1)(x^2 - x - 2);$

в) $(x^2 - (a + 1)x + a)(x^2 - x - a);$

г) $(3x^2 + x - a)(2x + a).$

а) Многочлен $3(x + 5)(x - 7)(x + 1)(x - a)$ представляет собой произведение четырех линейных множителей. Его корни находятся, когда каждый из множителей равен нулю: $x + 5 = 0 \implies x_1 = -5$
$x - 7 = 0 \implies x_2 = 7$
$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$
$x - a = 0 \implies x_4 = a$

Первые три корня $x_1 = -5$, $x_2 = 7$ и $x_3 = -1$ являются различными. Чтобы у многочлена было ровно три различных корня, четвертый корень $x_4 = a$ должен совпадать с одним из трех уже найденных корней.

Следовательно, возможные значения для параметра $a$: $a = -5$, $a = 7$ или $a = -1$.

Ответ: $a \in \{-5, -1, 7\}$.

б) Рассмотрим многочлен $(ax^2 + 5x + 1)(x^2 - x - 2)$. Его корни — это объединение корней уравнений $ax^2 + 5x + 1 = 0$ и $x^2 - x - 2 = 0$.

Сначала найдем корни второго множителя: $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Таким образом, у нас уже есть два различных корня.

Теперь рассмотрим первый множитель $ax^2 + 5x + 1 = 0$. 1. Если $a = 0$, уравнение становится линейным: $5x + 1 = 0$, откуда $x_3 = -1/5$. Множество корней: $\{-1, 2, -1/5\}$. Это три различных корня. Значит, $a = 0$ является решением.

2. Если $a \neq 0$, уравнение $ax^2 + 5x + 1 = 0$ является квадратным. Его дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot a \cdot 1 = 25 - 4a$. Для получения ровно трех различных корней возможны следующие случаи:

• Квадратное уравнение имеет один корень (т.е. $D = 0$), и этот корень не равен $2$ или $-1$.
  $D = 25 - 4a = 0 \implies a = 25/4$.
  Корень уравнения: $x = -5/(2a) = -5/(2 \cdot 25/4) = -5/(50/4) = -2/5$.
  Этот корень отличается от $2$ и $-1$. Множество корней: $\{-1, 2, -2/5\}$. Три различных корня. Значит, $a = 25/4$ является решением.
• Квадратное уравнение имеет два различных корня (т.е. $D > 0$), но один из них совпадает с одним из уже известных корней ($2$ или $-1$).
  Условие $D > 0$ означает $25 - 4a > 0$, то есть $a < 25/4$.
  а) Один из корней равен $2$. Подставим $x=2$ в уравнение: $a(2)^2 + 5(2) + 1 = 0 \implies 4a + 11 = 0 \implies a = -11/4$. Это значение удовлетворяет условию $a < 25/4$. При $a = -11/4$ второй корень уравнения $(-11/4)x^2 + 5x + 1 = 0$ равен $-2/11$. Множество корней: $\{-1, 2, -2/11\}$. Три различных корня. Значит, $a = -11/4$ является решением.
  б) Один из корней равен $-1$. Подставим $x=-1$ в уравнение: $a(-1)^2 + 5(-1) + 1 = 0 \implies a - 4 = 0 \implies a = 4$. Это значение удовлетворяет условию $a < 25/4$. При $a = 4$ второй корень уравнения $4x^2 + 5x + 1 = 0$ равен $-1/4$. Множество корней: $\{-1, 2, -1/4\}$. Три различных корня. Значит, $a = 4$ является решением.

Ответ: $a \in \{-11/4, 0, 4, 25/4\}$.

в) Рассмотрим многочлен $(x^2 - (a + 1)x + a)(x^2 - x - a)$. Его корни — это объединение корней уравнений $x^2 - (a + 1)x + a = 0$ и $x^2 - x - a = 0$.

1. Для первого уравнения $x^2 - (a + 1)x + a = 0$ по теореме Виета сумма корней равна $a+1$, а произведение равно $a$. Легко видеть, что корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = a$. Они различны при $a \neq 1$.

2. Для второго уравнения $x^2 - x - a = 0$ дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(-a) = 1 + 4a$.

Рассмотрим случаи:

• Пусть $a = 1$. Первое уравнение имеет один корень $x=1$ (кратности 2). Второе уравнение становится $x^2 - x - 1 = 0$, его корни $x = (1 \pm \sqrt{5})/2$. Множество всех корней: $\{1, (1 + \sqrt{5})/2, (1 - \sqrt{5})/2\}$. Три различных корня. Значит, $a = 1$ является решением.
• Пусть $a \neq 1$. Тогда первое уравнение дает два различных корня: $1$ и $a$. Чтобы общее число различных корней было равно трем, совокупность корней второго уравнения должна добавить ровно один новый корень.
  а) Уравнение $x^2 - x - a = 0$ имеет один корень (т.е. $D=0$), и этот корень не равен ни $1$, ни $a$. $D = 1 + 4a = 0 \implies a = -1/4$. Корень $x = -(-1)/2 = 1/2$. При $a = -1/4$ корни первого уравнения: $1$ и $-1/4$. Корень второго: $1/2$. Множество всех корней: $\{1, -1/4, 1/2\}$. Три различных корня. Значит, $a = -1/4$ является решением.
  б) Уравнение $x^2 - x - a = 0$ имеет два различных корня ($D > 0 \implies a > -1/4$), и один из них совпадает с $1$ или $a$, а другой является новым.
  - Если корень $x=1$ является корнем $x^2 - x - a = 0$, то $1^2 - 1 - a = 0 \implies a = 0$. При $a=0$ корни первого уравнения $\{1, 0\}$, корни второго $x^2-x=0$ тоже $\{1, 0\}$. Общее множество корней $\{0, 1\}$. Всего два корня. Не подходит.
  - Если корень $x=a$ является корнем $x^2 - x - a = 0$, то $a^2 - a - a = 0 \implies a^2 - 2a = 0 \implies a(a-2)=0$. Отсюда $a=0$ или $a=2$. Случай $a=0$ мы уже рассмотрели. Проверим $a=2$. При $a=2$ корни первого уравнения $\{1, 2\}$. Второе уравнение $x^2 - x - 2 = 0$ имеет корни $x_1=2, x_2=-1$. Общее множество корней $\{1, 2, -1\}$. Три различных корня. Значит, $a=2$ является решением.

Ответ: $a \in \{-1/4, 1, 2\}$.

г) Рассмотрим многочлен $(3x^2 + x - a)(2x + a)$. Его корни — это объединение корней уравнений $3x^2 + x - a = 0$ и $2x + a = 0$.

Из линейного уравнения $2x + a = 0$ получаем корень $x_1 = -a/2$.

Чтобы у многочлена было ровно три различных корня, необходимо, чтобы квадратное уравнение $3x^2 + x - a = 0$ имело два различных корня, и ни один из них не совпадал с корнем $x_1 = -a/2$.

1. Условие наличия двух различных корней у квадратного уравнения: дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля. $D = 1^2 - 4(3)(-a) = 1 + 12a$. $1 + 12a > 0 \implies 12a > -1 \implies a > -1/12$.

2. Условие, что ни один из корней квадратного уравнения не равен $-a/2$. Найдем значения $a$, при которых это совпадение происходит, и исключим их. Подставим $x = -a/2$ в $3x^2 + x - a = 0$: $3(-a/2)^2 + (-a/2) - a = 0$
$3(a^2/4) - a/2 - a = 0$
$3a^2/4 - 3a/2 = 0$
$3a^2 - 6a = 0$
$3a(a - 2) = 0$
Совпадение корней происходит при $a = 0$ и $a = 2$. Эти значения параметра нужно исключить.

Оба значения ($a=0$ и $a=2$) удовлетворяют условию $a > -1/12$, поэтому их следует исключить из найденного промежутка.

Таким образом, многочлен имеет ровно три различных корня при $a > -1/12$, $a \neq 0$ и $a \neq 2$.

Ответ: $a \in (-1/12, 0) \cup (0, 2) \cup (2, +\infty)$.