Страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

3.11. a) $2\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 + x + \frac{1}{x} - 10 = 0;$

б) $2\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + x + \frac{1}{x} - 2 = 0;$

в) $2x^2 + \frac{2}{x^2} + x + \frac{1}{x} - 6 = 0;$

г) $2x^4 + x^3 - 6x^2 + x + 2 = 0.$

а) $2\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 + x + \frac{1}{x} - 10 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Это уравнение является квадратным относительно выражения $x + \frac{1}{x}$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Тогда исходное уравнение принимает вид:

$2t^2 + t - 10 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81 = 9^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 9}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 9}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) Если $t = 2$, то:

$x + \frac{1}{x} = 2$

Умножим обе части на $x$ (помним, что $x \neq 0$):

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x_1 = 1$

2) Если $t = -\frac{5}{2}$, то:

$x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 + 2 = -5x$

$2x^2 + 5x + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$x_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_3 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; -2; -\frac{1}{2}$.

б) $2\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + x + \frac{1}{x} - 2 = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Раскроем скобки в первом слагаемом:

$\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2\left(x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}\right) + x + \frac{1}{x} - 2 = 0$

$2x^2 - 4 + \frac{2}{x^2} + x + \frac{1}{x} - 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$\left(2x^2 + \frac{2}{x^2}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) - 6 = 0$

$2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) - 6 = 0$

Сделаем замену переменной $t = x + \frac{1}{x}$. Тогда $t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим в преобразованное уравнение:

$2(t^2 - 2) + t - 6 = 0$

$2t^2 - 4 + t - 6 = 0$

$2t^2 + t - 10 = 0$

Мы получили точно такое же квадратное уравнение для $t$, как и в пункте а). Его корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -\frac{5}{2}$.

Следовательно, обратная замена и нахождение корней для $x$ будут идентичны решению в пункте а).

Ответ: $1; -2; -\frac{1}{2}$.

в) $2x^2 + \frac{2}{x^2} + x + \frac{1}{x} - 6 = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$\left(2x^2 + \frac{2}{x^2}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) - 6 = 0$

$2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) - 6 = 0$

Это уравнение идентично преобразованному уравнению из пункта б). Произведем ту же замену: $t = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подстановка приводит к уравнению:

$2(t^2 - 2) + t - 6 = 0$

$2t^2 + t - 10 = 0$

Корни этого уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = -\frac{5}{2}$. Дальнейшее решение полностью совпадает с решением в пунктах а) и б).

Ответ: $1; -2; -\frac{1}{2}$.

г) $2x^4 + x^3 - 6x^2 + x + 2 = 0$

Это симметрическое (возвратное) уравнение четвертой степени, так как коэффициенты, равноудаленные от концов, равны (2 и 2, 1 и 1).

Заметим, что $x = 0$ не является корнем уравнения ($2 \neq 0$). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x^2 \neq 0$.

$\frac{2x^4}{x^2} + \frac{x^3}{x^2} - \frac{6x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2} + \frac{2}{x^2} = 0$

$2x^2 + x - 6 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$\left(2x^2 + \frac{2}{x^2}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) - 6 = 0$

$2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) - 6 = 0$

Мы получили уравнение, которое в точности совпадает с уравнением из пункта в). Следовательно, дальнейший ход решения (замена $t = x + \frac{1}{x}$) и итоговые корни будут такими же.

Ответ: $1; -2; -\frac{1}{2}$.

3.12. a) $(2x + \frac{1}{x})^2 + 2x + \frac{1}{x} - 12 = 0;$

б) $(2x - \frac{1}{x})^2 + 2x + \frac{1}{x} - 4 = 0.$

а) $(2x + \frac{1}{x})^2 + 2x + \frac{1}{x} - 12 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно выражения $(2x + \frac{1}{x})$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 2x + \frac{1}{x}$.
Тогда исходное уравнение принимает вид:

$t^2 + t - 12 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = -4$
$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = 3$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1) $2x + \frac{1}{x} = -4$
Умножим обе части уравнения на $x$ (по ОДЗ $x \neq 0$):
$2x^2 + 1 = -4x$
$2x^2 + 4x + 1 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D_x = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8$.
$\sqrt{D_x} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2}$.

2) $2x + \frac{1}{x} = 3$
Умножим обе части уравнения на $x$ (по ОДЗ $x \neq 0$):
$2x^2 + 1 = 3x$
$2x^2 - 3x + 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D_x = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
$\sqrt{D_x} = 1$.
Корни: $x_3 = \frac{-(-3) - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_4 = \frac{-(-3) + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Все четыре найденных корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; \frac{1}{2}; \frac{-2 - \sqrt{2}}{2}; \frac{-2 + \sqrt{2}}{2}$.

б) $(2x - \frac{1}{x})^2 + 2x + \frac{1}{x} - 4 = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$.
Это уравнение можно свести к квадратному с помощью замены переменной. Заметим, что выражения $(2x - \frac{1}{x})$ и $(2x + \frac{1}{x})$ связаны между собой.

Введем замену $y = 2x + \frac{1}{x}$.
Выразим $(2x - \frac{1}{x})^2$ через $y$.
Возведем $y$ в квадрат:
$y^2 = (2x + \frac{1}{x})^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2 = 4x^2 + 4 + \frac{1}{x^2}$
Отсюда можно выразить сумму квадратов: $4x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 4$.
Теперь раскроем квадрат разности:
$(2x - \frac{1}{x})^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2 = 4x^2 - 4 + \frac{1}{x^2}$
Подставим сюда ранее найденное выражение для $4x^2 + \frac{1}{x^2}$:
$(2x - \frac{1}{x})^2 = (y^2 - 4) - 4 = y^2 - 8$.

Теперь подставим все в исходное уравнение:
$(y^2 - 8) + y - 4 = 0$
$y^2 + y - 12 = 0$

Мы получили такое же квадратное уравнение, как и в пункте а). Его корни: $y_1 = -4$ и $y_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

1) $2x + \frac{1}{x} = -4$
Это уравнение было решено в пункте а). Его корни: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{2}$.

2) $2x + \frac{1}{x} = 3$
Это уравнение также было решено в пункте а). Его корни: $x = \frac{1}{2}$ и $x = 1$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; \frac{1}{2}; \frac{-2 - \sqrt{2}}{2}; \frac{-2 + \sqrt{2}}{2}$.

3.13. a) $(3x - \frac{2}{x})^2 + 3x - \frac{2}{x} - 2 = 0;$

б) $9x^2 + \frac{4}{x^2} + 3x - \frac{2}{x} - 14 = 0;$

В) $9x^4 + 3x^3 - 14x^2 - 2x + 4 = 0;$

Г) $9x^4 - 3x^3 - 14x^2 + 2x + 4 = 0.$

а) $(3x - \frac{2}{x})^2 + 3x - \frac{2}{x} - 2 = 0$

Это уравнение можно решить с помощью замены переменной. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Пусть $t = 3x - \frac{2}{x}$. Тогда исходное уравнение принимает вид:

$t^2 + t - 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его, используя теорему Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.

1. Если $t = 1$, то $3x - \frac{2}{x} = 1$.

Умножим обе части на $x$ (помним, что $x \neq 0$):

$3x^2 - 2 = x$

$3x^2 - x - 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

Корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 5}{6}$.

$x_1 = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

$x_2 = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

2. Если $t = -2$, то $3x - \frac{2}{x} = -2$.

Умножим обе части на $x$:

$3x^2 - 2 = -2x$

$3x^2 + 2x - 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 4 + 24 = 28$.

Корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{3}$.

$x_3 = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}$.

$x_4 = \frac{-1 - \sqrt{7}}{3}$.

Все четыре корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $1; -\frac{2}{3}; \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}; \frac{-1 - \sqrt{7}}{3}$.

б) $9x^2 + \frac{4}{x^2} + 3x - \frac{2}{x} - 14 = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$. Сгруппируем слагаемые:

$(9x^2 + \frac{4}{x^2}) + (3x - \frac{2}{x}) - 14 = 0$

Используем ту же замену, что и в пункте а): $t = 3x - \frac{2}{x}$.

Чтобы выразить $(9x^2 + \frac{4}{x^2})$ через $t$, возведем замену в квадрат:

$t^2 = (3x - \frac{2}{x})^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = 9x^2 - 12 + \frac{4}{x^2}$

Отсюда $9x^2 + \frac{4}{x^2} = t^2 + 12$.

Подставим это в сгруппированное уравнение:

$(t^2 + 12) + t - 14 = 0$

$t^2 + t - 2 = 0$

Мы получили то же самое квадратное уравнение для $t$, что и в пункте а). Следовательно, и решения для $x$ будут такими же.

Ответ: $1; -\frac{2}{3}; \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}; \frac{-1 - \sqrt{7}}{3}$.

в) $9x^4 + 3x^3 - 14x^2 - 2x + 4 = 0$

Это уравнение четвертой степени. Заметим, что $x=0$ не является корнем, так как при подстановке получаем $4 = 0$, что неверно. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:

$9x^2 + 3x - 14 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(9x^2 + \frac{4}{x^2}) + (3x - \frac{2}{x}) - 14 = 0$

Это уравнение в точности совпадает с уравнением из пункта б). Следовательно, оно имеет те же корни.

Ответ: $1; -\frac{2}{3}; \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}; \frac{-1 - \sqrt{7}}{3}$.

г) $9x^4 - 3x^3 - 14x^2 + 2x + 4 = 0$

Так же, как и в пункте в), $x=0$ не является корнем. Разделим уравнение на $x^2$:

$9x^2 - 3x - 14 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(9x^2 + \frac{4}{x^2}) - (3x - \frac{2}{x}) - 14 = 0$

Сделаем замену $t = 3x - \frac{2}{x}$. Как мы выяснили в пункте б), $9x^2 + \frac{4}{x^2} = t^2 + 12$.

Подставим в уравнение:

$(t^2 + 12) - t - 14 = 0$

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, произведение равно $-2$. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену.

1. Если $t = 2$, то $3x - \frac{2}{x} = 2$.

$3x^2 - 2 = 2x$

$3x^2 - 2x - 2 = 0$

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 4 + 24 = 28$.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$.

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{7}}{3}$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{7}}{3}$.

2. Если $t = -1$, то $3x - \frac{2}{x} = -1$.

$3x^2 - 2 = -x$

$3x^2 + x - 2 = 0$

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{-1 \pm 5}{6}$.

$x_3 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

$x_4 = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.

Ответ: $-1; \frac{2}{3}; \frac{1 + \sqrt{7}}{3}; \frac{1 - \sqrt{7}}{3}$.

3.14. a) $x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0;$

б) $9x^4 - 9x^3 + 10x^2 - 3x + 1 = 0;$

в) $2x^4 - 7x^3 + 10x^2 - 7x + 2 = 0;$

г) $25x^4 - 50x^3 + 14x^2 + 10x + 1 = 0.$

а) $x^4 - x^3 - 4x^2 - x + 1 = 0$

Данное уравнение является симметричным (возвратным) уравнением четвертой степени, так как коэффициенты, равноудаленные от концов, равны.

Поскольку $x=0$ не является корнем уравнения (так как свободный член равен 1), мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:

$x^2 - x - 4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - (x + \frac{1}{x}) - 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда получаем $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим это в сгруппированное уравнение:

$(y^2 - 2) - y - 4 = 0$

$y^2 - y - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета находим корни:

$y_1 = 3$, $y_2 = -2$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1) Если $y = 3$:

$x + \frac{1}{x} = 3$

Умножим на $x \neq 0$:

$x^2 + 1 = 3x$

$x^2 - 3x + 1 = 0$

Найдем корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

2) Если $y = -2$:

$x + \frac{1}{x} = -2$

Умножим на $x \neq 0$:

$x^2 + 1 = -2x$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x+1)^2 = 0$

$x = -1$ (корень кратности 2).

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $x_1 = -1$ (кратности 2), $x_{2,3} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

б) $9x^4 - 9x^3 + 10x^2 - 3x + 1 = 0$

Данное уравнение является обобщенным возвратным уравнением вида $Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E = 0$, для которого выполняется условие $\frac{E}{A} = (\frac{D}{B})^2$.

Проверим условие: $A=9, B=-9, D=-3, E=1$.

$\frac{1}{9} = (\frac{-3}{-9})^2 \implies \frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2 \implies \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$. Условие выполнено.

Так как $x=0$ не является корнем, разделим уравнение на $x^2$:

$9x^2 - 9x + 10 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(9x^2 + \frac{1}{x^2}) - (9x + \frac{3}{x}) + 10 = 0$

$(9x^2 + \frac{1}{x^2}) - 3(3x + \frac{1}{x}) + 10 = 0$

Сделаем замену. Пусть $y = 3x + \frac{1}{x}$.

Тогда $y^2 = (3x + \frac{1}{x})^2 = 9x^2 + 2 \cdot 3x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9x^2 + 6 + \frac{1}{x^2}$, откуда $9x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 6$.

Подставим в уравнение:

$(y^2 - 6) - 3y + 10 = 0$

$y^2 - 3y + 4 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D_y = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D_y < 0$), уравнение для $y$ не имеет действительных корней. Следовательно, исходное уравнение также не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

в) $2x^4 - 7x^3 + 10x^2 - 7x + 2 = 0$

Это симметричное (возвратное) уравнение. Разделим его на $x^2$ (так как $x=0$ не корень):

$2x^2 - 7x + 10 - \frac{7}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 7(x + \frac{1}{x}) + 10 = 0$

Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$2(y^2 - 2) - 7y + 10 = 0$

$2y^2 - 4 - 7y + 10 = 0$

$2y^2 - 7y + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение для $y$. Дискриминант $D_y = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

$y = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 1}{4}$

$y_1 = \frac{7+1}{4} = 2$, $y_2 = \frac{7-1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Выполним обратную замену:

1) Если $y = 2$:

$x + \frac{1}{x} = 2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1$ (корень кратности 2).

2) Если $y = \frac{3}{2}$:

$x + \frac{1}{x} = \frac{3}{2} \implies 2x^2 - 3x + 2 = 0$.

Дискриминант $D_x = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$.

Действительных корней в этом случае нет, но есть комплексные:

$x = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{4} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{4}$.

Ответ: $x_1 = 1$ (кратности 2), $x_{2,3} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{4}$.

г) $25x^4 - 50x^3 + 14x^2 + 10x + 1 = 0$

Это обобщенное возвратное уравнение. Проверим условие $\frac{E}{A} = (\frac{D}{B})^2$:

$A=25, B=-50, D=10, E=1$.

$\frac{1}{25} = (\frac{10}{-50})^2 \implies \frac{1}{25} = (-\frac{1}{5})^2 \implies \frac{1}{25} = \frac{1}{25}$. Условие выполнено.

Разделим уравнение на $x^2$:

$25x^2 - 50x + 14 + \frac{10}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(25x^2 + \frac{1}{x^2}) - (50x - \frac{10}{x}) + 14 = 0$

$(25x^2 + \frac{1}{x^2}) - 10(5x - \frac{1}{x}) + 14 = 0$

Сделаем замену. Пусть $y = 5x - \frac{1}{x}$.

Тогда $y^2 = (5x - \frac{1}{x})^2 = 25x^2 - 2 \cdot 5x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 25x^2 - 10 + \frac{1}{x^2}$, откуда $25x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 10$.

Подставим в уравнение:

$(y^2 + 10) - 10y + 14 = 0$

$y^2 - 10y + 24 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 = 4$, $y_2 = 6$.

Выполним обратную замену:

1) Если $y = 4$:

$5x - \frac{1}{x} = 4 \implies 5x^2 - 1 = 4x \implies 5x^2 - 4x - 1 = 0$.

Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ (так как $5-4-1=0$) и $x_2 = \frac{-1}{5}$ (по теореме Виета $x_1x_2 = c/a$).

2) Если $y = 6$:

$5x - \frac{1}{x} = 6 \implies 5x^2 - 1 = 6x \implies 5x^2 - 6x - 1 = 0$.

Дискриминант $D_x = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 36 + 20 = 56$.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 5} = \frac{6 \pm 2\sqrt{14}}{10} = \frac{3 \pm \sqrt{14}}{5}$.

Ответ: $x_1=1, x_2 = -\frac{1}{5}, x_{3,4} = \frac{3 \pm \sqrt{14}}{5}$.

3.15. a) Пусть $x^2 + 5x + 4 = 17$.

Вычислите значение выражения $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)$.

б) Решите уравнение $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 360$.

а)

Чтобы вычислить значение выражения $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)$, сгруппируем множители так, чтобы при их перемножении получить одинаковые части. Сгруппируем первый множитель с четвертым, а второй с третьим:

$((x + 1)(x + 4)) \cdot ((x + 2)(x + 3))$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(x + 1)(x + 4) = x^2 + 4x + x + 4 = x^2 + 5x + 4$

$(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:

$(x^2 + 5x + 4) \cdot (x^2 + 5x + 6)$

Из условия задачи нам известно, что $x^2 + 5x + 4 = 17$.

Тогда второй множитель можно выразить через первый:

$x^2 + 5x + 6 = (x^2 + 5x + 4) + 2 = 17 + 2 = 19$.

Теперь найдем значение всего выражения, перемножив полученные значения:

$17 \cdot 19 = 17 \cdot (20 - 1) = 340 - 17 = 323$.

Ответ: 323

б)

Используем преобразование, выполненное в пункте а). Уравнение $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 360$ можно переписать в виде:

$(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = 360$

Чтобы решить это уравнение, введем замену. Пусть $t = x^2 + 5x + 4$. Тогда $x^2 + 5x + 6 = t + 2$. Уравнение примет вид:

$t(t + 2) = 360$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 2t - 360 = 0$

Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант. По теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = -360$ и $t_1 + t_2 = -2$. Подходят числа $18$ и $-20$.

$t_1 = 18$, $t_2 = -20$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Рассмотрим два случая.

1) $t_1 = 18$

$x^2 + 5x + 4 = 18$

$x^2 + 5x - 14 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

$x_1 = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

2) $t_2 = -20$

$x^2 + 5x + 4 = -20$

$x^2 + 5x + 24 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 25 - 96 = -71$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня: 2 и -7.

Ответ: 2; -7

3.16. Решите уравнение:

a) $4(x^2 - x)^2 + 9x^2 = 9x - 2;$

б) $(2x^2 - x + 1)^2 - 4x^2 = 1 - 2x.$

а) $4(x^2 - x)^2 + 9x^2 = 9x - 2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$4(x^2 - x)^2 + 9x^2 - 9x + 2 = 0$

Сгруппируем члены, чтобы выделить повторяющееся выражение $x^2 - x$. Для этого вынесем 9 за скобки:

$4(x^2 - x)^2 + 9(x^2 - x) + 2 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - x$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$4t^2 + 9t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 = 7^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 - 7}{8} = \frac{-16}{8} = -2$

$t_2 = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 + 7}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. При $t = -2$:

$x^2 - x = -2$

$x^2 - x + 2 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D_x = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$

Так как $D_x < 0$, действительных корней в этом случае нет.

2. При $t = -1/4$:

$x^2 - x = -\frac{1}{4}$

$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$

Отсюда следует:

$x - \frac{1}{2} = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Таким образом, у исходного уравнения есть единственный корень.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $(2x^2 - x + 1)^2 - 4x^2 = 1 - 2x$

Перенесем члены с $x$ из правой части в левую, а свободные члены в правую, чтобы выявить структуру для замены:

$(2x^2 - x + 1)^2 = 4x^2 - 2x + 1$

Заметим, что выражение в правой части можно связать с выражением в скобках в левой части. Вынесем 2 за скобки в правой части:

$(2x^2 - x + 1)^2 = 2(2x^2 - x) + 1$

Введем замену переменной. Пусть $y = 2x^2 - x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(y + 1)^2 = 2y + 1$

Раскроем скобки в левой части:

$y^2 + 2y + 1 = 2y + 1$

Вычтем $2y + 1$ из обеих частей уравнения:

$y^2 = 0$

Отсюда получаем, что $y = 0$.

Теперь выполним обратную замену:

$y = 2x^2 - x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение. Вынесем $x$ за скобки:

$x(2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два корня:

1. $x_1 = 0$

2. $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{2}$

Ответ: $0; \frac{1}{2}$