Страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Может ли уравнение $x^3 + 5x^2 - 7x - 12 = 0$ иметь рациональный корень, не являющийся целым числом? иррациональный корень?

Данное уравнение $x^3 + 5x^2 - 7x - 12 = 0$ является полиномиальным уравнением третьей степени с целыми коэффициентами. Проанализируем его корни.

Для ответа на этот вопрос воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если многочлен с целыми коэффициентами $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 = 0$ имеет рациональный корень вида $x = \frac{p}{q}$ (где дробь несократима), то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента $a_n$.

В нашем уравнении $x^3 + 5x^2 - 7x - 12 = 0$ старший коэффициент $a_3 = 1$, а свободный член $a_0 = -12$.

Следовательно, для любого рационального корня $x = \frac{p}{q}$ этого уравнения, знаменатель $q$ должен быть делителем числа $1$. Целыми делителями единицы являются только $1$ и $-1$.

Это означает, что любой рациональный корень данного уравнения может быть представлен в виде $x = \frac{p}{\pm 1} = \pm p$, то есть он обязан быть целым числом. Таким образом, уравнение не может иметь рациональный корень, который не является целым.

Ответ: Нет, не может.

Чтобы выяснить, может ли уравнение иметь иррациональный корень, сначала установим, есть ли у него рациональные корни. Как мы выяснили в предыдущем пункте, если рациональные корни существуют, они должны быть целыми. Возможные целые корни — это делители свободного члена $-12$: $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$.

Обозначим левую часть уравнения как функцию $P(x) = x^3 + 5x^2 - 7x - 12$. Проверим, является ли какое-либо из этих целых чисел корнем, подставляя их в функцию:

$P(1) = 1^3 + 5(1)^2 - 7(1) - 12 = 1 + 5 - 7 - 12 = -13 \neq 0$

$P(-1) = (-1)^3 + 5(-1)^2 - 7(-1) - 12 = -1 + 5 + 7 - 12 = -1 \neq 0$

$P(2) = 2^3 + 5(2)^2 - 7(2) - 12 = 8 + 20 - 14 - 12 = 2 \neq 0$

Проверка всех остальных возможных целых корней также показывает, что ни одно из них не обращает многочлен в ноль. Это означает, что уравнение не имеет целых корней, а следовательно, не имеет и рациональных корней.

Однако любой многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень. Чтобы доказать его существование и определить его природу, снова рассмотрим значения функции $P(x)$ в точках $x=1$ и $x=2$. Мы уже посчитали, что $P(1) = -13$ и $P(2) = 2$.

Так как функция $P(x)$ непрерывна, и на концах отрезка $[1, 2]$ принимает значения разных знаков ($P(1) < 0$ и $P(2) > 0$), по теореме о промежуточном значении на интервале $(1, 2)$ должен существовать корень уравнения. Поскольку этот корень лежит между $1$ и $2$, он не является целым числом. А так как мы доказали, что у уравнения нет рациональных корней, не являющихся целыми, то этот корень должен быть иррациональным.

Ответ: Да, может.

Решите уравнение:

4.18. а) $x^4 = 17$;

б) $x^4 = -16$;

в) $x^6 = 11$;

г) $x^8 = -3$.

а) Дано уравнение $x^4 = 17$. Так как показатель степени переменной $x$ — четное число (4), а правая часть уравнения — положительное число ($17 > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень четвертой степени из обеих частей уравнения. Корни будут отличаться знаком.
$x_1 = \sqrt[4]{17}$
$x_2 = -\sqrt[4]{17}$
Решение можно записать в краткой форме: $x = \pm \sqrt[4]{17}$.
Ответ: $x = \pm \sqrt[4]{17}$

б) В уравнении $x^4 = -16$ левая часть, $x^4$, представляет собой число $x$, возведенное в четную степень. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным, то есть $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$. Правая часть уравнения — отрицательное число (-16). Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: действительных корней нет.

в) Дано уравнение $x^6 = 11$. Степень переменной $x$ является четной (6), а правая часть уравнения — положительное число ($11 > 0$). Следовательно, как и в пункте а), уравнение имеет два действительных корня. Извлечем корень шестой степени из обеих частей уравнения.
$x_1 = \sqrt[6]{11}$
$x_2 = -\sqrt[6]{11}$
Общее решение: $x = \pm \sqrt[6]{11}$.
Ответ: $x = \pm \sqrt[6]{11}$

г) В уравнении $x^8 = -3$ переменная $x$ возведена в четную степень (8). Это означает, что для любого действительного числа $x$ значение выражения $x^8$ будет неотрицательным ($x^8 \ge 0$). Правая часть уравнения равна -3, что является отрицательным числом. Равенство между неотрицательной левой частью и отрицательной правой частью невозможно. Таким образом, уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: действительных корней нет.

4.19. a) $x^3 + 8 = 0;$

В) $x^4 - 19 = 0;$

б) $3x^8 - 9 = 0;$

Г) $5x^{10} + 6 = 0.$

а) $x^3 + 8 = 0$

Перенесем 8 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x^3 = -8$

Чтобы найти $x$, нужно извлечь кубический корень из -8:

$x = \sqrt[3]{-8}$

Поскольку $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$, корень уравнения равен -2.

Ответ: $x = -2$

б) $3x^8 - 9 = 0$

Перенесем -9 в правую часть уравнения, изменив знак:

$3x^8 = 9$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^8 = \frac{9}{3}$

$x^8 = 3$

Показатель степени 8 является четным числом, поэтому уравнение имеет два действительных корня. Чтобы найти $x$, извлечем корень восьмой степени из 3:

$x = \pm\sqrt[8]{3}$

Ответ: $x = \pm\sqrt[8]{3}$

в) $x^4 - 19 = 0$

Перенесем -19 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x^4 = 19$

Так как показатель степени 4 — четное число, уравнение будет иметь два действительных корня. Чтобы найти $x$, извлечем корень четвертой степени из 19:

$x = \pm\sqrt[4]{19}$

Ответ: $x = \pm\sqrt[4]{19}$

г) $5x^{10} + 6 = 0$

Перенесем 6 в правую часть уравнения, изменив знак:

$5x^{10} = -6$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x^{10} = -\frac{6}{5}$

Выражение $x^{10}$ при любом действительном значении $x$ является неотрицательным числом, так как $x$ возводится в четную степень ($x^{10} \ge 0$).

Правая часть уравнения, $-\frac{6}{5}$, является отрицательным числом. Равенство неотрицательного числа и отрицательного числа невозможно.

Следовательно, у данного уравнения нет действительных корней.

Ответ: корней нет.

4.20. a) $\sqrt[3]{x-5} = -3$;

б) $\sqrt[4]{4-5x} = -2$;

В) $\sqrt[5]{2x+8} = -1$;

Г) $\sqrt[3]{7-4x} = 4$.

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{x-5} = -3$.
Так как показатель корня — нечетное число (3), мы можем возвести обе части уравнения в эту степень без появления посторонних корней.
$(\sqrt[3]{x-5})^3 = (-3)^3$
$x-5 = -27$
Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем -5 в правую часть с противоположным знаком:
$x = -27 + 5$
$x = -22$
Проверка: $\sqrt[3]{-22-5} = \sqrt[3]{-27} = -3$. Равенство верно.
Ответ: -22.

б)

Дано уравнение $\sqrt[4]{4-5x} = -2$.
По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае, четвертой) из действительного числа есть число неотрицательное. То есть, $\sqrt[4]{A} \ge 0$ для любого $A \ge 0$.
В левой части уравнения стоит арифметический корень четвертой степени, который не может быть отрицательным. В правой части стоит отрицательное число -2.
Поскольку неотрицательная величина не может равняться отрицательной, данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
Ответ: нет решений.

в)

Дано уравнение $\sqrt[5]{2x+8} = -1$.
Показатель корня — нечетное число (5), поэтому можно возводить обе части уравнения в пятую степень.
$(\sqrt[5]{2x+8})^5 = (-1)^5$
$2x+8 = -1$
Решим полученное линейное уравнение. Вычтем 8 из обеих частей:
$2x = -1 - 8$
$2x = -9$
Разделим обе части на 2:
$x = -\frac{9}{2} = -4.5$
Проверка: $\sqrt[5]{2(-4.5)+8} = \sqrt[5]{-9+8} = \sqrt[5]{-1} = -1$. Равенство верно.
Ответ: -4,5.

г)

Дано уравнение $\sqrt[3]{7-4x} = 4$.
Показатель корня — нечетное число (3). Возводим обе части уравнения в третью степень:
$(\sqrt[3]{7-4x})^3 = 4^3$
$7-4x = 64$
Решим полученное линейное уравнение. Вычтем 7 из обеих частей:
$-4x = 64 - 7$
$-4x = 57$
Разделим обе части на -4:
$x = -\frac{57}{4} = -14.25$
Проверка: $\sqrt[3]{7-4(-14.25)} = \sqrt[3]{7+57} = \sqrt[3]{64} = 4$. Равенство верно.
Ответ: -14,25.

4.21. a) $\sqrt[3]{x^2 - 9x - 19} = -3$;

Б) $\sqrt[4]{x^2 - 10x + 25} = 2$;

В) $\sqrt[7]{2x^2 + 6x - 57} = -1$;

Г) $\sqrt[6]{x^2 + 7x + 13} = 1$.

а) Исходное уравнение: $ \sqrt[3]{x^2 - 9x - 19} = -3 $.
Поскольку показатель корня — нечетное число (3), можно возвести обе части уравнения в третью степень без введения дополнительных ограничений. $ (\sqrt[3]{x^2 - 9x - 19})^3 = (-3)^3 $
$ x^2 - 9x - 19 = -27 $
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $ x^2 - 9x - 19 + 27 = 0 $
$ x^2 - 9x + 8 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 $
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{9 \pm 7}{2} $
$ x_1 = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 $
$ x_2 = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 $
Для корней нечетной степени проверка не требуется, так как возведение в нечетную степень является равносильным преобразованием.
Ответ: $1; 8$.

б) Исходное уравнение: $ \sqrt[4]{x^2 - 10x + 25} = 2 $.
Заметим, что выражение под корнем представляет собой полный квадрат: $ x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2 $. Уравнение принимает вид: $ \sqrt[4]{(x-5)^2} = 2 $. Поскольку корень четной степени, правая часть уравнения должна быть неотрицательной, что выполняется ($2 \ge 0$). Возведем обе части уравнения в четвертую степень: $ (\sqrt[4]{x^2 - 10x + 25})^4 = 2^4 $
$ x^2 - 10x + 25 = 16 $
Перенесем 16 в левую часть: $ x^2 - 10x + 25 - 16 = 0 $
$ x^2 - 10x + 9 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Следовательно, корни уравнения: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 9 $. Проверим, что подкоренное выражение $ x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2 $ неотрицательно для найденных корней. Поскольку это полный квадрат, оно неотрицательно для любых значений $x$. Оба корня подходят.
Ответ: $1; 9$.

в) Исходное уравнение: $ \sqrt[7]{2x^2 + 6x - 57} = -1 $.
Показатель корня — нечетное число (7), поэтому можно возвести обе части уравнения в седьмую степень: $ (\sqrt[7]{2x^2 + 6x - 57})^7 = (-1)^7 $
$ 2x^2 + 6x - 57 = -1 $
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $ 2x^2 + 6x - 57 + 1 = 0 $
$ 2x^2 + 6x - 56 = 0 $
Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения: $ x^2 + 3x - 28 = 0 $
Решим полученное уравнение через дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 $
$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 \pm 11}{2} $
$ x_1 = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4 $
$ x_2 = \frac{-3 - 11}{2} = \frac{-14}{2} = -7 $
Поскольку степень корня нечетная, проверка не требуется.
Ответ: $-7; 4$.

г) Исходное уравнение: $ \sqrt[6]{x^2 + 7x + 13} = 1 $.
Поскольку корень четной степени, необходимо проверить область допустимых значений, то есть убедиться, что подкоренное выражение неотрицательно: $ x^2 + 7x + 13 \ge 0 $. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ x^2 + 7x + 13 $: $ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 49 - 52 = -3 $. Так как дискриминант отрицательный, а старший коэффициент (при $x^2$) положителен, то парабола $ y = x^2 + 7x + 13 $ полностью находится выше оси абсцисс, и, следовательно, выражение $ x^2 + 7x + 13 $ положительно при любых $x$. Теперь возведем обе части уравнения в шестую степень: $ (\sqrt[6]{x^2 + 7x + 13})^6 = 1^6 $
$ x^2 + 7x + 13 = 1 $
Приведем уравнение к стандартному виду: $ x^2 + 7x + 12 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -7, а их произведение равно 12. Корни: $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = -4 $. Оба корня принадлежат области допустимых значений.
Ответ: $-4; -3$.

4.22. a) $0.02x^6 - 1.28 = 0;$

Б) $-\frac{3}{4}x^8 + 18\frac{3}{4} = 0;$

В) $0.3x^9 - 2.4 = 0;$

Г) $\frac{1}{8}x^4 - 2 = 0.$

а) Решим уравнение $0,02x^6 - 1,28 = 0$.

Сначала перенесем свободный член $-1,28$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$0,02x^6 = 1,28$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^6$, то есть на $0,02$:

$x^6 = \frac{1,28}{0,02}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель дроби на 100, чтобы избавиться от десятичных знаков:

$x^6 = \frac{128}{2}$

$x^6 = 64$

Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень шестой степени из обеих частей уравнения. Так как показатель степени (6) является четным числом, уравнение будет иметь два действительных корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm \sqrt[6]{64}$

Мы знаем, что $2^6 = 64$, следовательно:

$x = \pm 2$

Ответ: $\pm 2$.

б) Решим уравнение $-\frac{3}{4}x^8 + 18\frac{3}{4} = 0$.

Для начала преобразуем смешанное число $18\frac{3}{4}$ в неправильную дробь:

$18\frac{3}{4} = \frac{18 \times 4 + 3}{4} = \frac{72 + 3}{4} = \frac{75}{4}$

Теперь уравнение выглядит так:

$-\frac{3}{4}x^8 + \frac{75}{4} = 0$

Перенесем слагаемое $\frac{75}{4}$ в правую часть уравнения:

$-\frac{3}{4}x^8 = -\frac{75}{4}$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы избавиться от знаков минус:

$\frac{3}{4}x^8 = \frac{75}{4}$

Чтобы найти $x^8$, умножим обе части на обратную дробь к $\frac{3}{4}$, то есть на $\frac{4}{3}$:

$x^8 = \frac{75}{4} \times \frac{4}{3}$

$x^8 = \frac{75}{3}$

$x^8 = 25$

Извлечем корень восьмой степени. Так как степень (8) четная, у уравнения будет два действительных корня:

$x = \pm \sqrt[8]{25}$

Можно упростить корень, представив $25$ как $5^2$:

$x = \pm \sqrt[8]{5^2} = \pm 5^{\frac{2}{8}} = \pm 5^{\frac{1}{4}} = \pm \sqrt[4]{5}$

Ответ: $\pm \sqrt[4]{5}$.

в) Решим уравнение $0,3x^9 - 2,4 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$0,3x^9 = 2,4$

Разделим обе части на $0,3$:

$x^9 = \frac{2,4}{0,3}$

Умножим числитель и знаменатель на 10:

$x^9 = \frac{24}{3}$

$x^9 = 8$

Извлечем корень девятой степени из обеих частей. Так как степень (9) нечетная, уравнение имеет только один действительный корень:

$x = \sqrt[9]{8}$

Упростим полученный корень, зная, что $8 = 2^3$:

$x = \sqrt[9]{2^3} = 2^{\frac{3}{9}} = 2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$

Ответ: $\sqrt[3]{2}$.

г) Решим уравнение $\frac{1}{8}x^4 - 2 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть:

$\frac{1}{8}x^4 = 2$

Умножим обе части уравнения на 8, чтобы выразить $x^4$:

$x^4 = 2 \times 8$

$x^4 = 16$

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей. Так как степень (4) четная, уравнение будет иметь два действительных корня:

$x = \pm \sqrt[4]{16}$

Поскольку $2^4 = 16$, то:

$x = \pm 2$

Ответ: $\pm 2$.

4.23. Расположите числа в порядке возрастания:

а) 2, $ \sqrt[3]{5} $, $ \sqrt[4]{17} $;

б) $ \sqrt[3]{75} $, 4, $ \sqrt[5]{1000} $;

в) 3, $ \sqrt[5]{40} $, $ \sqrt[3]{7} $;

г) 2, $ \sqrt[6]{60} $, $ \sqrt[4]{20} $.

Для того чтобы расположить числа, содержащие корни разных степеней, в порядке возрастания, необходимо привести все корни к одному показателю. Для этого находят наименьшее общее кратное (НОК) показателей всех корней, а затем преобразуют каждое число к корню с этим общим показателем.

а)

Сравним числа $2$, $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{17}$.
Показатели корней здесь 1 (для числа 2, которое можно записать как $2^1$), 3 и 4. Наименьшее общее кратное для 1, 3 и 4 равно 12. Приведем все числа к корню 12-й степени.

$2 = \sqrt[12]{2^{12}} = \sqrt[12]{4096}$

$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[12]{625}$

$\sqrt[4]{17} = \sqrt[4 \cdot 3]{17^3} = \sqrt[12]{4913}$

Теперь сравним подкоренные выражения: $625 < 4096 < 4913$.
Следовательно, $\sqrt[12]{625} < \sqrt[12]{4096} < \sqrt[12]{4913}$, что соответствует исходным числам: $\sqrt[3]{5} < 2 < \sqrt[4]{17}$.

Ответ: $\sqrt[3]{5}, 2, \sqrt[4]{17}$.

б)

Сравним числа $\sqrt[3]{75}$, $4$, $\sqrt[5]{1000}$.
В данном случае удобнее провести попарное сравнение, приводя числа к общему показателю корня в каждой паре.

1. Сравним $4$ и $\sqrt[3]{75}$. Приведем $4$ к кубическому корню:
$4 = \sqrt[3]{4^3} = \sqrt[3]{64}$.
Так как $64 < 75$, то $4 < \sqrt[3]{75}$.

2. Сравним $4$ и $\sqrt[5]{1000}$. Приведем $4$ к корню пятой степени:
$4 = \sqrt[5]{4^5} = \sqrt[5]{1024}$.
Так как $1000 < 1024$, то $\sqrt[5]{1000} < 4$.

3. Объединяя результаты, получаем: $\sqrt[5]{1000} < 4$ и $4 < \sqrt[3]{75}$.
Значит, итоговый порядок таков: $\sqrt[5]{1000} < 4 < \sqrt[3]{75}$.

Ответ: $\sqrt[5]{1000}, 4, \sqrt[3]{75}$.

в)

Сравним числа $3$, $\sqrt[5]{40}$, $\sqrt[3]{7}$.
Применим смешанный подход: сначала сравним корни, а затем результат сравним с целым числом.

1. Сравним $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[5]{40}$. НОК показателей 3 и 5 равно 15.
$\sqrt[3]{7} = \sqrt[15]{7^5} = \sqrt[15]{16807}$.
$\sqrt[5]{40} = \sqrt[15]{40^3} = \sqrt[15]{64000}$.
Поскольку $16807 < 64000$, то $\sqrt[3]{7} < \sqrt[5]{40}$.

2. Теперь сравним большее из этих двух чисел, $\sqrt[5]{40}$, с числом $3$. Приведем $3$ к корню пятой степени:
$3 = \sqrt[5]{3^5} = \sqrt[5]{243}$.
Так как $40 < 243$, то $\sqrt[5]{40} < 3$.

3. Из неравенств $\sqrt[3]{7} < \sqrt[5]{40}$ и $\sqrt[5]{40} < 3$ следует окончательный порядок: $\sqrt[3]{7} < \sqrt[5]{40} < 3$.

Ответ: $\sqrt[3]{7}, \sqrt[5]{40}, 3$.

г)

Сравним числа $2$, $\sqrt[6]{60}$, $\sqrt[4]{20}$.
Показатели корней 1, 6 и 4. НОК для этих чисел равно 12. Приведем все числа к корню 12-й степени.

$2 = \sqrt[12]{2^{12}} = \sqrt[12]{4096}$

$\sqrt[6]{60} = \sqrt[6 \cdot 2]{60^2} = \sqrt[12]{3600}$

$\sqrt[4]{20} = \sqrt[4 \cdot 3]{20^3} = \sqrt[12]{8000}$

Сравним подкоренные выражения: $3600 < 4096 < 8000$.
Следовательно, $\sqrt[12]{3600} < \sqrt[12]{4096} < \sqrt[12]{8000}$, что соответствует исходным числам: $\sqrt[6]{60} < 2 < \sqrt[4]{20}$.

Ответ: $\sqrt[6]{60}, 2, \sqrt[4]{20}$.

○4.24. Расположите числа в порядке убывания:

a) $-1, \sqrt[3]{-5}, \sqrt[4]{0,1};$

б) $0, \sqrt[3]{-0,25}, \sqrt[5]{-29};$

в) $-2, \sqrt[5]{-1,5}, \sqrt[3]{-9};$

г) $1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{-2}.$

а)

Чтобы расположить числа $-1, \sqrt[3]{-5}, \sqrt[4]{0,1}$ в порядке убывания, сравним их значения.

1. Определим знаки чисел.

• $\sqrt[4]{0,1}$ — корень четной степени из положительного числа, следовательно, это число положительное.
• $-1$ — отрицательное число.
• $\sqrt[3]{-5}$ — корень нечетной степени из отрицательного числа, следовательно, это число отрицательное.

2. Самое большое число — единственное положительное число $\sqrt[4]{0,1}$.

3. Теперь сравним два отрицательных числа: $-1$ и $\sqrt[3]{-5}$. Для этого сравним их модули: $|-1|=1$ и $|\sqrt[3]{-5}|=\sqrt[3]{5}$.

4. Чтобы сравнить $1$ и $\sqrt[3]{5}$, возведем оба числа в 3-ю степень: $1^3 = 1$
$(\sqrt[3]{5})^3 = 5$

5. Так как $5 > 1$, то $\sqrt[3]{5} > 1$.

6. Среди отрицательных чисел то число меньше, модуль которого больше. Следовательно, $-\sqrt[3]{5} < -1$, то есть $\sqrt[3]{-5} < -1$.

7. Располагаем числа в порядке от большего к меньшему: $\sqrt[4]{0,1} > -1 > \sqrt[3]{-5}$.

Ответ: $\sqrt[4]{0,1}; -1; \sqrt[3]{-5}$.

б)

Чтобы расположить числа $0, \sqrt[3]{-0,25}, \sqrt[5]{-29}$ в порядке убывания, сравним их значения.

1. Определим знаки чисел.

• $0$ — не является ни положительным, ни отрицательным.
• $\sqrt[3]{-0,25}$ — отрицательное число.
• $\sqrt[5]{-29}$ — отрицательное число.

2. Число $0$ больше любого отрицательного числа, значит, $0$ — самое большое число.

3. Сравним отрицательные числа $\sqrt[3]{-0,25}$ и $\sqrt[5]{-29}$. Для этого сравним их модули: $|\sqrt[3]{-0,25}|=\sqrt[3]{0,25}$ и $|\sqrt[5]{-29}|=\sqrt[5]{29}$.

4. Чтобы сравнить $\sqrt[3]{0,25}$ и $\sqrt[5]{29}$, возведем оба числа в 15-ю степень (наименьшее общее кратное показателей 3 и 5):
$(\sqrt[3]{0,25})^{15} = (0,25)^{15/3} = (0,25)^5 = (\frac{1}{4})^5 = \frac{1}{1024}$
$(\sqrt[5]{29})^{15} = 29^{15/5} = 29^3 = 24389$

5. Так как $24389 > \frac{1}{1024}$, то $\sqrt[5]{29} > \sqrt[3]{0,25}$.

6. Для отрицательных чисел порядок обратный: $\sqrt[5]{-29} < \sqrt[3]{-0,25}$.

7. Располагаем числа в порядке от большего к меньшему: $0 > \sqrt[3]{-0,25} > \sqrt[5]{-29}$.

Ответ: $0; \sqrt[3]{-0,25}; \sqrt[5]{-29}$.

в)

Чтобы расположить числа $-2, \sqrt[5]{-1,5}, \sqrt[3]{-9}$ в порядке убывания, сравним их значения. Все три числа являются отрицательными.

1. Сравним модули этих чисел: $|-2|=2$, $|\sqrt[5]{-1,5}|=\sqrt[5]{1,5}$ и $|\sqrt[3]{-9}|=\sqrt[3]{9}$.

2. Чтобы сравнить эти числа, представим $2$ в виде корней с такими же показателями: $2 = \sqrt[5]{2^5} = \sqrt[5]{32}$
$2 = \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8}$

3. Сравним $2$ и $\sqrt[5]{1,5}$. Так как $32 > 1,5$, то $\sqrt[5]{32} > \sqrt[5]{1,5}$, значит, $2 > \sqrt[5]{1,5}$.

4. Сравним $2$ и $\sqrt[3]{9}$. Так как $8 < 9$, то $\sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{9}$, значит, $2 < \sqrt[3]{9}$.

5. Объединяя результаты, получаем порядок для модулей: $\sqrt[5]{1,5} < 2 < \sqrt[3]{9}$.

6. Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, порядок будет обратным: $-\sqrt[5]{1,5} > -2 > -\sqrt[3]{9}$.

7. То есть, $\sqrt[5]{-1,5} > -2 > \sqrt[3]{-9}$.

Ответ: $\sqrt[5]{-1,5}; -2; \sqrt[3]{-9}$.

г)

Чтобы расположить числа $1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{-2}$ в порядке убывания, сравним их значения.

1. Определим знаки чисел.

• $1$ — положительное число.
• $\sqrt[3]{2}$ — положительное число.
• $\sqrt[3]{-2}$ — отрицательное число.

2. Отрицательное число $\sqrt[3]{-2}$ является наименьшим из трех.

3. Сравним положительные числа $1$ и $\sqrt[3]{2}$. Возведем их в 3-ю степень:
$1^3 = 1$
$(\sqrt[3]{2})^3 = 2$

4. Так как $2 > 1$, то $\sqrt[3]{2} > 1$.

5. Располагаем числа в порядке от большего к меньшему: $\sqrt[3]{2} > 1 > \sqrt[3]{-2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{2}; 1; \sqrt[3]{-2}$.

4.25. Расположите числа в порядке возрастания:

a) $\frac{\pi}{2}$, $\sqrt[5]{-12}$, 2, $\sqrt[6]{70}$;

б) $\frac{3}{\pi}$, $\sqrt[7]{\pi}$, 1, $\sqrt[5]{-\pi}$;

в) $\sqrt{2\pi}$, $\frac{\pi}{3}$, $\sqrt[3]{-2}$, 2,5;

г) $2\pi$, $\sqrt[5]{-0,5}$, 0, $\sqrt[3]{200}$.

а)

Для того чтобы расположить числа $\frac{\pi}{2}$, $\sqrt[5]{-12}$, $2$, $\sqrt[6]{70}$ в порядке возрастания, оценим их значения.

1. Число $\sqrt[5]{-12}$ — это единственное отрицательное число в наборе, так как корень нечетной степени (5) из отрицательного числа является отрицательным. Следовательно, это наименьшее число.

2. Теперь сравним положительные числа: $\frac{\pi}{2}$, $2$, $\sqrt[6]{70}$.
- Оценим $\frac{\pi}{2}$. Используя приближение $\pi \approx 3,14$, получаем $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$. Это значение меньше $2$. - Сравним $2$ и $\sqrt[6]{70}$. Для этого возведем оба числа в 6-ю степень, так как функция $y=x^6$ возрастает для положительных чисел:
$2^6 = 64$
$(\sqrt[6]{70})^6 = 70$
Поскольку $64 < 70$, то $2 < \sqrt[6]{70}$.

Таким образом, мы получили следующую последовательность неравенств для положительных чисел: $\frac{\pi}{2} < 2 < \sqrt[6]{70}$.

Располагая все числа в порядке возрастания, получаем: $\sqrt[5]{-12}$, $\frac{\pi}{2}$, $2$, $\sqrt[6]{70}$.

Ответ: $\sqrt[5]{-12}, \frac{\pi}{2}, 2, \sqrt[6]{70}$.

б)

Рассмотрим числа $\frac{3}{\pi}$, $\sqrt[7]{\pi}$, $1$, $\sqrt[5]{-\pi}$.

1. Число $\sqrt[5]{-\pi}$ — это отрицательное число, так как $\pi > 0$ и степень корня (5) нечетная. Все остальные числа положительны. Следовательно, $\sqrt[5]{-\pi}$ является наименьшим.

2. Сравним положительные числа: $\frac{3}{\pi}$, $1$, $\sqrt[7]{\pi}$.
- Сравним $\frac{3}{\pi}$ и $1$. Поскольку $\pi \approx 3,14 > 3$, то знаменатель дроби больше числителя, следовательно, $\frac{3}{\pi} < 1$. - Сравним $1$ и $\sqrt[7]{\pi}$. Поскольку $\pi > 1$, то корень любой натуральной степени из $\pi$ будет больше 1. То есть, $\sqrt[7]{\pi} > \sqrt[7]{1} = 1$.

Таким образом, мы установили порядок для положительных чисел: $\frac{3}{\pi} < 1 < \sqrt[7]{\pi}$.

Объединяя все числа, получаем итоговый порядок возрастания: $\sqrt[5]{-\pi}$, $\frac{3}{\pi}$, $1$, $\sqrt[7]{\pi}$.

Ответ: $\sqrt[5]{-\pi}, \frac{3}{\pi}, 1, \sqrt[7]{\pi}$.

в)

Расположим в порядке возрастания числа $\sqrt{2\pi}$, $\frac{\pi}{3}$, $\sqrt[3]{-2}$, $2,5$.

1. Число $\sqrt[3]{-2}$ является отрицательным, так как это корень нечетной степени из отрицательного числа. Остальные числа положительны, значит $\sqrt[3]{-2}$ — наименьшее.

2. Сравним положительные числа: $\sqrt{2\pi}$, $\frac{\pi}{3}$, $2,5$.
- Оценим $\frac{\pi}{3}$. Используя $\pi \approx 3,14$, получаем $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14}{3} \approx 1,047$. Это значение очевидно меньше, чем $2,5$. - Теперь сравним $2,5$ и $\sqrt{2\pi}$. Возведем оба числа в квадрат, так как функция $y=x^2$ возрастает для положительных чисел:
$(2,5)^2 = 6,25$
$(\sqrt{2\pi})^2 = 2\pi$
Для сравнения $6,25$ и $2\pi$ сравним $\frac{6,25}{2} = 3,125$ и $\pi$. Так как $\pi \approx 3,14159...$, то $\pi > 3,125$. Следовательно, $2\pi > 6,25$, и, значит, $\sqrt{2\pi} > 2,5$.

Порядок для положительных чисел: $\frac{\pi}{3} < 2,5 < \sqrt{2\pi}$.

Итоговая последовательность в порядке возрастания: $\sqrt[3]{-2}$, $\frac{\pi}{3}$, $2,5$, $\sqrt{2\pi}$.

Ответ: $\sqrt[3]{-2}, \frac{\pi}{3}, 2,5, \sqrt{2\pi}$.

г)

Рассмотрим числа $2\pi$, $\sqrt[5]{-0,5}$, $0$, $\sqrt[3]{200}$.

1. Определим знаки чисел. $\sqrt[5]{-0,5}$ — отрицательное число. $0$ — ноль. $2\pi$ и $\sqrt[3]{200}$ — положительные числа. Поэтому наименьшее число — $\sqrt[5]{-0,5}$, за ним следует $0$. Получаем: $\sqrt[5]{-0,5} < 0$.

2. Теперь сравним положительные числа: $2\pi$ и $\sqrt[3]{200}$.
Чтобы их сравнить, возведем оба числа в куб, так как функция $y=x^3$ возрастает для любых действительных чисел:
$(\sqrt[3]{200})^3 = 200$
$(2\pi)^3 = 8\pi^3$
Теперь нужно сравнить $200$ и $8\pi^3$, что эквивалентно сравнению $25$ и $\pi^3$. Возьмем приближенное значение $\pi > 3,1$. $3,1^3 = 29,791$. Поскольку $3,1 < \pi$, то $\pi^3 > 3,1^3 = 29,791$. Так как $29,791 > 25$, то $\pi^3 > 25$. Следовательно, $8\pi^3 > 200$, и, значит, $2\pi > \sqrt[3]{200}$.

Таким образом, порядок для положительных чисел: $\sqrt[3]{200} < 2\pi$.

Собирая все вместе, получаем итоговый ряд: $\sqrt[5]{-0,5}$, $0$, $\sqrt[3]{200}$, $2\pi$.

Ответ: $\sqrt[5]{-0,5}, 0, \sqrt[3]{200}, 2\pi$.

Постройте график функции:

5.1. а) $y = \sqrt[3]{x};$

б) $y = \sqrt[6]{x};$

в) $y = \sqrt[4]{x};$

г) $y = \sqrt[5]{x}.$

а) $y = \sqrt[3]{x}$

Это степенная функция $y=x^{1/3}$. Проанализируем ее свойства для построения графика.

1. Область определения: кубический корень (корень нечетной степени) определен для любых действительных чисел. Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: значения функции также могут быть любыми действительными числами. Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Четность/нечетность: Проверим, является ли функция четной или нечетной, подставив $-x$ вместо $x$: $y(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -y(x)$. Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.
4. Точки пересечения с осями координат:
   • При $x=0$, $y=\sqrt[3]{0}=0$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; 0)$.
   • При $y=0$, $\sqrt[3]{x}=0$, откуда $x=0$. Точка пересечения с осью Ox: $(0; 0)$.
   График проходит через начало координат.
5. Ключевые точки: Вычислим значения функции в нескольких точках, чтобы уточнить вид графика. Удобно выбирать значения $x$, из которых легко извлекается кубический корень.
   • $x=1$, $y=\sqrt[3]{1}=1$ → точка $(1; 1)$
   • $x=8$, $y=\sqrt[3]{8}=2$ → точка $(8; 2)$
   • $x=-1$, $y=\sqrt[3]{-1}=-1$ → точка $(-1; -1)$
   • $x=-8$, $y=\sqrt[3]{-8}=-2$ → точка $(-8; -2)$
   • $x=1/8$, $y=\sqrt[3]{1/8}=1/2$ → точка $(1/8; 1/2)$
6. Поведение функции: Функция $y = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. График похож на график функции $y=x^3$, но "уложенный на бок".

Построение графика: На координатной плоскости отмечаем найденные точки: $(-8; -2)$, $(-1; -1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(8; 2)$. Соединяем их плавной линией. Учитывая нечетность, ветвь графика в третьей четверти является симметричным отражением ветви в первой четверти относительно начала координат. График имеет вертикальную касательную в точке $(0;0)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — это кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки $(-8; -2)$, $(-1; -1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(8; 2)$. Функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[6]{x}$

Это степенная функция $y=x^{1/6}$. Проанализируем ее свойства.

1. Область определения: корень четной степени (6-й) определен только для неотрицательных чисел. Таким образом, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.
2. Область значений: значение корня четной степени всегда неотрицательно. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Четность/нечетность: так как область определения несимметрична относительно нуля, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).
4. Точки пересечения с осями координат:
   • При $x=0$, $y=\sqrt[6]{0}=0$. Точка пересечения с осями (и начало графика): $(0; 0)$.
5. Ключевые точки:
   • $x=1$, $y=\sqrt[6]{1}=1$ → точка $(1; 1)$
   • $x=64$, $y=\sqrt[6]{64}=2$ → точка $(64; 2)$
   • $x=1/64$, $y=\sqrt[6]{1/64}=1/2$ → точка $(1/64; 1/2)$
6. Поведение функции: Функция $y = \sqrt[6]{x}$ является возрастающей на своей области определения. График представляет собой ветвь, выходящую из начала координат и расположенную в первой координатной четверти.

Построение графика: Отмечаем на плоскости точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(64; 2)$. Соединяем их плавной, выпуклой вверх кривой. График начинается в точке $(0;0)$ и медленно возрастает. Он похож на график квадратного корня $y=\sqrt{x}$, но растет еще медленнее при $x>1$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[6]{x}$ — это кривая, расположенная в первой координатной четверти, начинающаяся в точке $(0;0)$ и проходящая через точки $(1; 1)$ и $(64; 2)$. Функция возрастает на всей области определения $[0; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[4]{x}$

Это степенная функция $y=x^{1/4}$. Свойства этой функции аналогичны свойствам функции $y = \sqrt[6]{x}$, так как показатель корня (4) является четным числом.

1. Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$, так как корень четной степени.
2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Четность/нечетность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
4. Точки пересечения с осями координат: единственная точка пересечения — начало координат $(0; 0)$.
5. Ключевые точки:
   • $x=1$, $y=\sqrt[4]{1}=1$ → точка $(1; 1)$
   • $x=16$, $y=\sqrt[4]{16}=2$ → точка $(16; 2)$
   • $x=81$, $y=\sqrt[4]{81}=3$ → точка $(81; 3)$
   • $x=1/16$, $y=\sqrt[4]{1/16}=1/2$ → точка $(1/16; 1/2)$
6. Поведение функции: Функция возрастающая на $[0; +\infty)$.

Построение графика: Отмечаем точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(16; 2)$. Соединяем их плавной кривой. График расположен в первой четверти. Он растет быстрее, чем $y=\sqrt[6]{x}$, но медленнее, чем $y=\sqrt{x}$ (при $x>1$). Все эти графики проходят через точки $(0;0)$ и $(1;1)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{x}$ — это кривая, расположенная в первой координатной четверти, которая начинается в точке $(0;0)$ и проходит через точки $(1; 1)$ и $(16; 2)$. Функция возрастает на всей области определения $[0; +\infty)$.

г) $y = \sqrt[5]{x}$

Это степенная функция $y=x^{1/5}$. Свойства этой функции аналогичны свойствам функции $y = \sqrt[3]{x}$, так как показатель корня (5) является нечетным числом.

1. Область определения: корень нечетной степени определен для любых действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Четность/нечетность: Проверим функцию: $y(-x) = \sqrt[5]{-x} = -\sqrt[5]{x} = -y(x)$. Функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
4. Точки пересечения с осями координат: единственная точка пересечения — $(0; 0)$.
5. Ключевые точки:
   • $x=1$, $y=\sqrt[5]{1}=1$ → точка $(1; 1)$
   • $x=32$, $y=\sqrt[5]{32}=2$ → точка $(32; 2)$
   • $x=-1$, $y=\sqrt[5]{-1}=-1$ → точка $(-1; -1)$
   • $x=-32$, $y=\sqrt[5]{-32}=-2$ → точка $(-32; -2)$
6. Поведение функции: Функция возрастает на всей области определения.

Построение графика: Отмечаем точки $(-32; -2)$, $(-1; -1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(32; 2)$. Соединяем их плавной линией, симметричной относительно начала координат. График имеет характерную "S"-образную форму, как и у кубического корня, но при $x > 1$ он растет медленнее, чем $y=\sqrt[3]{x}$, а на интервале $(0, 1)$ он находится выше графика $y=\sqrt[3]{x}$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[5]{x}$ — это кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точки $(-32; -2)$, $(-1; -1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(32; 2)$. Функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

5.2. a) $y = 2\sqrt[3]{x};$

б) $y = -\frac{1}{3}\sqrt[6]{x};$

В) $y = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{x};$

Г) $y = 3\sqrt[4]{x}.$

а) $y = 2\sqrt[3]{x}$

Для нахождения производной функции $y = 2\sqrt[3]{x}$ сначала представим корень в виде степени с рациональным показателем: $y = 2x^{1/3}$.

Далее, применим правило дифференцирования степенной функции, которое гласит $(x^n)' = nx^{n-1}$, и правило вынесения постоянного множителя за знак производной:

$y' = (2x^{1/3})' = 2 \cdot (x^{1/3})' = 2 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{2}{3}x^{\frac{1-3}{3}} = \frac{2}{3}x^{-2/3}$.

Теперь вернемся к записи с корнем, учитывая, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$:

$y' = \frac{2}{3x^{2/3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

б) $y = -\frac{1}{3}\sqrt[6]{x}$

Представим функцию в виде $y = -\frac{1}{3}x^{1/6}$.

Найдем производную, используя те же правила дифференцирования:

$y' = (-\frac{1}{3}x^{1/6})' = -\frac{1}{3} \cdot (x^{1/6})' = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}x^{\frac{1}{6} - 1} = -\frac{1}{18}x^{\frac{1-6}{6}} = -\frac{1}{18}x^{-5/6}$.

Преобразуем выражение, вернувшись к корневой записи:

$y' = -\frac{1}{18x^{5/6}} = -\frac{1}{18\sqrt[6]{x^5}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{18\sqrt[6]{x^5}}$.

в) $y = -\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}$

Сначала преобразуем функцию: $y = -\frac{1}{2}x^{1/3}$.

Дифференцируем функцию по правилу производной степенной функции:

$y' = (-\frac{1}{2}x^{1/3})' = -\frac{1}{2} \cdot (x^{1/3})' = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} = -\frac{1}{6}x^{\frac{1-3}{3}} = -\frac{1}{6}x^{-2/3}$.

Запишем результат с использованием знака корня:

$y' = -\frac{1}{6x^{2/3}} = -\frac{1}{6\sqrt[3]{x^2}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{6\sqrt[3]{x^2}}$.

г) $y = 3\sqrt[4]{x}$

Представим функцию в виде степени с рациональным показателем: $y = 3x^{1/4}$.

Применяем правила дифференцирования:

$y' = (3x^{1/4})' = 3 \cdot (x^{1/4})' = 3 \cdot \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4} - 1} = \frac{3}{4}x^{\frac{1-4}{4}} = \frac{3}{4}x^{-3/4}$.

Преобразуем результат к виду с корнем:

$y' = \frac{3}{4x^{3/4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{4\sqrt[4]{x^3}}$.