Номер 4.18, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.18, страница 30.

Решите уравнение:

4.18. а) $x^4 = 17$;

б) $x^4 = -16$;

в) $x^6 = 11$;

г) $x^8 = -3$.

а) Дано уравнение $x^4 = 17$. Так как показатель степени переменной $x$ — четное число (4), а правая часть уравнения — положительное число ($17 > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень четвертой степени из обеих частей уравнения. Корни будут отличаться знаком.
$x_1 = \sqrt[4]{17}$
$x_2 = -\sqrt[4]{17}$
Решение можно записать в краткой форме: $x = \pm \sqrt[4]{17}$.
Ответ: $x = \pm \sqrt[4]{17}$

б) В уравнении $x^4 = -16$ левая часть, $x^4$, представляет собой число $x$, возведенное в четную степень. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным, то есть $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$. Правая часть уравнения — отрицательное число (-16). Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: действительных корней нет.

в) Дано уравнение $x^6 = 11$. Степень переменной $x$ является четной (6), а правая часть уравнения — положительное число ($11 > 0$). Следовательно, как и в пункте а), уравнение имеет два действительных корня. Извлечем корень шестой степени из обеих частей уравнения.
$x_1 = \sqrt[6]{11}$
$x_2 = -\sqrt[6]{11}$
Общее решение: $x = \pm \sqrt[6]{11}$.
Ответ: $x = \pm \sqrt[6]{11}$

г) В уравнении $x^8 = -3$ переменная $x$ возведена в четную степень (8). Это означает, что для любого действительного числа $x$ значение выражения $x^8$ будет неотрицательным ($x^8 \ge 0$). Правая часть уравнения равна -3, что является отрицательным числом. Равенство между неотрицательной левой частью и отрицательной правой частью невозможно. Таким образом, уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: действительных корней нет.