Номер 4.20, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.20, страница 30.

4.20. a) $\sqrt[3]{x-5} = -3$;

б) $\sqrt[4]{4-5x} = -2$;

В) $\sqrt[5]{2x+8} = -1$;

Г) $\sqrt[3]{7-4x} = 4$.

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{x-5} = -3$.
Так как показатель корня — нечетное число (3), мы можем возвести обе части уравнения в эту степень без появления посторонних корней.
$(\sqrt[3]{x-5})^3 = (-3)^3$
$x-5 = -27$
Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем -5 в правую часть с противоположным знаком:
$x = -27 + 5$
$x = -22$
Проверка: $\sqrt[3]{-22-5} = \sqrt[3]{-27} = -3$. Равенство верно.
Ответ: -22.

б)

Дано уравнение $\sqrt[4]{4-5x} = -2$.
По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае, четвертой) из действительного числа есть число неотрицательное. То есть, $\sqrt[4]{A} \ge 0$ для любого $A \ge 0$.
В левой части уравнения стоит арифметический корень четвертой степени, который не может быть отрицательным. В правой части стоит отрицательное число -2.
Поскольку неотрицательная величина не может равняться отрицательной, данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
Ответ: нет решений.

в)

Дано уравнение $\sqrt[5]{2x+8} = -1$.
Показатель корня — нечетное число (5), поэтому можно возводить обе части уравнения в пятую степень.
$(\sqrt[5]{2x+8})^5 = (-1)^5$
$2x+8 = -1$
Решим полученное линейное уравнение. Вычтем 8 из обеих частей:
$2x = -1 - 8$
$2x = -9$
Разделим обе части на 2:
$x = -\frac{9}{2} = -4.5$
Проверка: $\sqrt[5]{2(-4.5)+8} = \sqrt[5]{-9+8} = \sqrt[5]{-1} = -1$. Равенство верно.
Ответ: -4,5.

г)

Дано уравнение $\sqrt[3]{7-4x} = 4$.
Показатель корня — нечетное число (3). Возводим обе части уравнения в третью степень:
$(\sqrt[3]{7-4x})^3 = 4^3$
$7-4x = 64$
Решим полученное линейное уравнение. Вычтем 7 из обеих частей:
$-4x = 64 - 7$
$-4x = 57$
Разделим обе части на -4:
$x = -\frac{57}{4} = -14.25$
Проверка: $\sqrt[3]{7-4(-14.25)} = \sqrt[3]{7+57} = \sqrt[3]{64} = 4$. Равенство верно.
Ответ: -14,25.