Номер 4.17, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.17, страница 29.

4.17. Решите уравнение:

a) $x^3 = 125$;

б) $x^7 = \frac{1}{128}$;

В) $x^5 = 32$;

Г) $x^9 = 1$.

а) $x^3 = 125$

Чтобы решить это уравнение, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень даст 125. Это эквивалентно извлечению кубического корня из обеих частей уравнения.

$x = \sqrt[3]{125}$

Мы знаем, что $5 \times 5 \times 5 = 125$, то есть $5^3 = 125$.

Уравнение можно переписать в виде: $x^3 = 5^3$.

Поскольку показатели степени нечетные и равны, то и основания должны быть равны.

Следовательно, $x = 5$.

Ответ: $5$

б) $x^7 = \frac{1}{128}$

Чтобы решить это уравнение, нужно найти число, которое при возведении в седьмую степень даст $\frac{1}{128}$. Для этого извлечем корень седьмой степени из обеих частей уравнения.

$x = \sqrt[7]{\frac{1}{128}}$

Представим число 128 как степень двойки: $2^7 = 128$.

Тогда правую часть уравнения можно записать так: $\frac{1}{128} = \frac{1}{2^7} = (\frac{1}{2})^7$.

Уравнение принимает вид: $x^7 = (\frac{1}{2})^7$.

Поскольку показатели степени нечетные и равны, то и основания должны быть равны.

$x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $x^5 = 32$

Для решения этого уравнения найдем число, которое в пятой степени равно 32. Это означает, что нужно извлечь корень пятой степени из обеих частей уравнения.

$x = \sqrt[5]{32}$

Мы знаем, что $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде $x^5 = 2^5$.

Отсюда следует, что $x = 2$.

Ответ: $2$

г) $x^9 = 1$

Чтобы решить уравнение, нужно найти число, которое при возведении в девятую степень дает 1. Извлечем корень девятой степени из обеих частей.

$x = \sqrt[9]{1}$

Единственное действительное число, которое при возведении в любую положительную степень равно 1, это само число 1, так как $1^9 = 1$.

Уравнение можно записать как $x^9 = 1^9$.

Следовательно, $x = 1$.

Ответ: $1$