Номер 4.22, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 4. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 4.22, страница 30.

4.22. a) $0.02x^6 - 1.28 = 0;$

Б) $-\frac{3}{4}x^8 + 18\frac{3}{4} = 0;$

В) $0.3x^9 - 2.4 = 0;$

Г) $\frac{1}{8}x^4 - 2 = 0.$

а) Решим уравнение $0,02x^6 - 1,28 = 0$.

Сначала перенесем свободный член $-1,28$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$0,02x^6 = 1,28$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^6$, то есть на $0,02$:

$x^6 = \frac{1,28}{0,02}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель дроби на 100, чтобы избавиться от десятичных знаков:

$x^6 = \frac{128}{2}$

$x^6 = 64$

Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень шестой степени из обеих частей уравнения. Так как показатель степени (6) является четным числом, уравнение будет иметь два действительных корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm \sqrt[6]{64}$

Мы знаем, что $2^6 = 64$, следовательно:

$x = \pm 2$

Ответ: $\pm 2$.

б) Решим уравнение $-\frac{3}{4}x^8 + 18\frac{3}{4} = 0$.

Для начала преобразуем смешанное число $18\frac{3}{4}$ в неправильную дробь:

$18\frac{3}{4} = \frac{18 \times 4 + 3}{4} = \frac{72 + 3}{4} = \frac{75}{4}$

Теперь уравнение выглядит так:

$-\frac{3}{4}x^8 + \frac{75}{4} = 0$

Перенесем слагаемое $\frac{75}{4}$ в правую часть уравнения:

$-\frac{3}{4}x^8 = -\frac{75}{4}$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы избавиться от знаков минус:

$\frac{3}{4}x^8 = \frac{75}{4}$

Чтобы найти $x^8$, умножим обе части на обратную дробь к $\frac{3}{4}$, то есть на $\frac{4}{3}$:

$x^8 = \frac{75}{4} \times \frac{4}{3}$

$x^8 = \frac{75}{3}$

$x^8 = 25$

Извлечем корень восьмой степени. Так как степень (8) четная, у уравнения будет два действительных корня:

$x = \pm \sqrt[8]{25}$

Можно упростить корень, представив $25$ как $5^2$:

$x = \pm \sqrt[8]{5^2} = \pm 5^{\frac{2}{8}} = \pm 5^{\frac{1}{4}} = \pm \sqrt[4]{5}$

Ответ: $\pm \sqrt[4]{5}$.

в) Решим уравнение $0,3x^9 - 2,4 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$0,3x^9 = 2,4$

Разделим обе части на $0,3$:

$x^9 = \frac{2,4}{0,3}$

Умножим числитель и знаменатель на 10:

$x^9 = \frac{24}{3}$

$x^9 = 8$

Извлечем корень девятой степени из обеих частей. Так как степень (9) нечетная, уравнение имеет только один действительный корень:

$x = \sqrt[9]{8}$

Упростим полученный корень, зная, что $8 = 2^3$:

$x = \sqrt[9]{2^3} = 2^{\frac{3}{9}} = 2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$

Ответ: $\sqrt[3]{2}$.

г) Решим уравнение $\frac{1}{8}x^4 - 2 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть:

$\frac{1}{8}x^4 = 2$

Умножим обе части уравнения на 8, чтобы выразить $x^4$:

$x^4 = 2 \times 8$

$x^4 = 16$

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей. Так как степень (4) четная, уравнение будет иметь два действительных корня:

$x = \pm \sqrt[4]{16}$

Поскольку $2^4 = 16$, то:

$x = \pm 2$

Ответ: $\pm 2$.