Номер 5.3, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 5. Функция у = n√х, её свойства и график. Глава 2. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 5.3, страница 31.

5.3. a) $y = \sqrt[3]{-x}$;

б) $y = -4\sqrt[4]{-x}$;

В) $y = 2\sqrt{-x}$;

Г) $y = -\frac{1}{2}\sqrt[5]{-x}$.

а)

Дана функция $y = \sqrt[3]{-x}$. Область определения функции, содержащей корень нечетной степени ($y = \sqrt[n]{f(x)}$, где $n$ — нечетное), совпадает с областью определения подкоренного выражения $f(x)$. В данном случае показатель корня $n=3$ — нечетное число. Подкоренное выражение $f(x)=-x$ определено для любых действительных значений $x$. Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б)

Дана функция $y = -4\sqrt[4]{-x}$. Область определения функции, содержащей корень четной степени ($y = \sqrt[n]{f(x)}$, где $n$ — четное), определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $f(x) \ge 0$. В данном случае показатель корня $n=4$ — четное число. Поэтому для нахождения области определения нужно решить неравенство:
$-x \ge 0$
Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le 0$
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, меньшие или равные нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

в)

Дана функция $y = 2\sqrt{-x}$. Квадратный корень является корнем с четным показателем ($n=2$). Следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$-x \ge 0$
Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:
$x \le 0$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, не превышающие ноль.

Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

г)

Дана функция $y = -\frac{1}{2}\sqrt[5]{-x}$. Показатель корня $n=5$ — нечетное число. Как и в пункте а), область определения такой функции совпадает с областью определения подкоренного выражения. Выражение $f(x)=-x$ определено при любых действительных значениях $x$. Значит, область определения всей функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.